Matematyka.pl

W kompendium page.php?p=kompendium-uklady-rownan-liniowych w rozdziale dotyczącym zastosowania wzorów Cramera znajdujemy takie stwierdzenie:

kompendium pisze:3. \(\displaystyle{ W= 0 \wedge W_1=0, W_2=0, W_3=0, \ldots, W_n = 0 \Rightarrow}\) Układ jest nieoznaczony \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W tym zapisie \(\displaystyle{ W}\) oznacza oczywiście wyznacznik macierzy głównej, a \(\displaystyle{ W_i}\) to odpowiednie wyznaczniki występujące w metodzie Cramera.

Podać przykład pokazujący, że to stwierdzenie nie jest prawdziwe.

Dowolny układ nad ciałem skończonym, który ma przynajmniej dwa rozwiązania. Na przykład
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} x+y=0 \\ x-y=0 \end{array} \right.}\)
nad \(\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}\).

Nie myślałem o takich skomplikowanych przykładach. \(\displaystyle{ \RR^2}\) wystarczy.

Coś typu
\(\displaystyle{ 0 \cdot \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right]}\)
nad dowolnym ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\).

Tak, oczywiście. Dowolny sprzeczny układ można rozszerzyć do układu \(\displaystyle{ n\times n}\) spełniającego warunki zadania.