Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Suri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 17 maja 2016, o 20:47
Płeć: Kobieta

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: Suri » 26 lip 2016, o 18:56

Cześć,
mam pokazać, że zbiór \(1+I\) jest zawarty w grupie \(R^{*}\) i jest jej podgrupą. \(I\subset R\) jest ideałem, którego wszystkie elementy są nilpotentne. \(R^{*}\) jest to grupa elementów odwracalnych z działaniem mnożenia.

hannahannah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 30 sty 2015, o 09:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ba

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: hannahannah » 26 lip 2016, o 19:35

Weźmy element należący do \(1 +I\), czyli postaci \(1 + i\) dla \(i\in I\). Wtedy isntnieje \(n\in\mathbb{N}\) takie, że \(i^n=(-i)^n=0\) skad \((1+i)(1-i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1})=1-(-i)^n=1\). Przy okazji widzimy, że \((1+i)^{-1}\in 1+I\), bo \(-i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1}\in I\). Pozostaje wykazać, że zbiór \(1+I\) jest zamknięty na mnożenie: \((1+i)(1+j)=1+i+j+ij\in 1 +I\) i koniec.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: Kartezjusz » 26 lip 2016, o 22:20

Zwartość?

Suri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 17 maja 2016, o 20:47
Płeć: Kobieta

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: Suri » 28 lip 2016, o 19:37

\((1+i)(1-i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1})=1-(-i)^n=1\).

mogłabyś mi wyjaśnić skąd, co i jak? bo nie bardzo rozumiem ten fragment.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: Kartezjusz » 28 lip 2016, o 19:41

Pierwsza równość ze wzoru na różnicę \(n\) tych potęg, druga- nilpotentność.

ODPOWIEDZ