Matematyka.pl

Znając dokładne(!) położenie trzech punktów \(\displaystyle{ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)}\) oraz odległości \(\displaystyle{ d_1, d_2, d_3}\) tych punktów do pewnego punktu \(\displaystyle{ (x, y)}\) jesteśmy w stanie jednoznacznie wyznaczyć współrzędne szukanego punktu \(\displaystyle{ (x, y)}\).
Nie uwzględniam tutaj przypadków szczególnych - np. punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) na jednej prostej

Przykład:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture} \draw (-4,0)--(3,0); \draw (0,0) node[below] {$A$} circle(3.8637cm); \draw (2,0) node[below] {$B$} circle (2cm); \draw (2,2) node[below] {$C$} circle (2cm); \filldraw[red] (3.73,1) node[right] {$(x, y)$} circle (.1cm); \end{tikzpicture}}\)

W ogólnym przypadku mamy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=d_1^2\\(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=d_2^2 \\(x-x_3)^2+(y-y_3)^2=d_3^2 \end{cases}}\)

i po rozwiązaniu mamy:

\(\displaystyle{ x = \frac{2(y_1-y_2)(x_1^2-x_3^2+y_1^2-y_3^2-d_1^2+d_3^2)-2(y_1-y_3)(x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2-d_1^2+d_2^2)}{4(x_1 - x_3)(y_1 - y_2)-4(x_1-x_2)(y_1-y_3)}}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{2(x_1-x_2)(x_1^2-x_3^2+y_1^2-y_3^2-d_1^2+d_3^2)-2(x_1-x_3)(x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2-d_1^2+d_2^2)}{4(x_1-x_2)(y_1-y_3)-4(x_1 - x_3)(y_1 - y_2)}}\)

Załóżmy teraz, że mamy system pomiarowy który zwraca nam wartości \(\displaystyle{ d_1, d_2, d_3}\) obarczone błędem tzn. \(\displaystyle{ d_1 \pm \Delta d_1 , d_2 \pm \Delta d_2 , d_3 \pm \Delta d_3}\)

Wówczas możemy metodą różniczki zupełnej oszacować niepewność położenia szukanego punktu (będzie to pewien obszar). Szukany punkt będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ (x \pm \Delta x, y \pm \Delta y)}\)

Moje pytanie jest takie, czy po dodaniu czwartego punktu \(\displaystyle{ D(x_4, y_4)}\) i posiadaniu informacji o odległości \(\displaystyle{ d_4}\) (też oczywiście obarczonej jakimś błędem) poprawi się nam dokładność lokalizacji szukanego punktu.
Jeżeli tak, to w jaki sposób wykazać to matematycznie, jak pokazać że np.
\(\displaystyle{ \Delta x_{4punkty} < \Delta x_{3punkty}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (d_1-\Delta d_1)^2 \le (x-x_1)^2+(y-y_1)^2 \le (d_1+\Delta d_1)^2\\(d_2-\Delta d_2)^2 \le (x-x_2)^2+(y-y_2)^2\le (d_2+\Delta d_2)^2 \\(d_3-\Delta d_3)^2 \le (x-x_3)^2+(y-y_3)^2\le (d_3+\Delta d_3)^2\end{cases}}\)

Obszar, w którym może znaleźć się szukany punkt, będzie częścią wspólną \(\displaystyle{ 3}\) pierścieni kołowych. Jeśli będziemy mieli dodatkową informację o tym \(\displaystyle{ 4.}\) punkcie to na pewno dokładności lokalizacji szukanego punktu ta informacja nam nie pogorszy - część wspólna \(\displaystyle{ 4}\) pierścieni kołowych nie będzie większa od części wspólnej \(\displaystyle{ 3}\) pierścieni kołowych.

Jeśli użyjesz metody różniczki zupełnej to tym obszarem będzie prostokąt. Zwiększy to obszar poszukiwań, bo ten prostokąt będzie zawierał w sobie część wspólną \(\displaystyle{ 4}\) pierścieni kołowych, ale prezentacja wyniku jest bardzo czytelna.

Odpowiedź na twoje pytanie brzmi:
\(\displaystyle{ \Delta x_{4punkty} \le \Delta x_{3punkty}}\)
Jednak już \(\displaystyle{ 2}\) punkty wystarczą do wyznaczenia \(\displaystyle{ 2}\) obszarów, \(\displaystyle{ 3.}\) punkt służy do określenia, który to obszar (z tych dwóch) jest przez nas poszukiwany. Bierzesz każdą kombinację dwóch punktów. Wyznaczasz wzór na punkt wspólny 2 okręgów o środkach w tych punktach. Używasz metody różniczki zupełnej aby określić obszar poszukiwań (prostokąt). Wyznaczasz część wspólną wszystkich wyznaczonych prostokątów, która będzie prostokątem. Im więcej prostokątów tym możliwa lepsza dokładność.

Twoje przedstawione rozwiązanie układu równań nawet jeśli jest prawidłowe to nie będzie miało zastosowania w tym zadaniu, ponieważ odległości są obarczone błędem (nie znamy dokładnych odległości) i wielce prawdopodobne, że taki układ równań będzie sprzeczny - 3 okręgi nie przetną się w jednym punkcie wspólnym..