limes

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

limes

Post autor: mol_ksiazkowy » 6 wrz 2007, o 00:32

\(\displaystyle{ \lim_{x \to a^+} [\frac{ln(sin(2x-2a))}{ln(sin(x-a))}]^{\frac{1}{x-a}}=?}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

limes

Post autor: max » 6 wrz 2007, o 00:59

Niech \(\displaystyle{ t = x - a}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{\ln \sin 2t}{\ln \sin t} = \frac{\ln (2\sin t\cos t)}{\ln \sin t} = 1 + \frac{\ln (2\cos t)}{\ln \sin t}\\
\lim_{t\to 0^{+}}\left(1 + \frac{\ln (2\cos t)}{\ln \sin t}\right)^{\frac{1}{t}} =\\
= \lim_{t\to 0^{+}} ft(\left(1 + \frac{\ln (2\cos t)}{\ln \sin t}\right)^{\frac{\ln \sin t}{\ln (2\cos t)}}\right)^{\frac{\ln (2\cos t)}{\sin t \ln \sin t}\cdot \frac{\sin t}{t}} =\\
= \lim_{u\to -\infty}e^{u} = 0}\)


Korzystamy z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0} (1 + )^{1/\alpha} = e\\
\lim_{\alpha\to 0} \frac{\sin }{\alpha} = 1\\
\lim_{\alpha\to 0^{+}}\alpha \ln = 0^{-}}\)

oraz z ciągłości funkcji elementarnych.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

limes

Post autor: mol_ksiazkowy » 6 wrz 2007, o 01:39

\(\displaystyle{ lim_{t \to 0} \frac{\ln (2\cos t)}{\sin t \ln \sin t} =?}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

limes

Post autor: max » 6 wrz 2007, o 12:22

\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0^{+}}\frac{\ln (2\cos t)}{\sin t \ln \sin t}=\left[\frac{\ln 2}{0^{-}}\right] = -\infty}\)

ODPOWIEDZ