Matematyka.pl

Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożona. Wskazówka:
Wykorzystaj tożsamość \(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{2}+x+1=(x^{2}+3x+1)^{2}-5x(x+1)^2)}\).
Prosiłbym o pomoc w tym zadaniu, zwłaszcza skąd pomysł na to, że taka liczba może być równa tej tożsamości. Jeżeli takie pomysły na zadania są wywnioskowane z logicznego toku rozumowania, to prosiłbym o jakąś radę, żeby wiedzieć kiedy takich rzeczy używać. Jak dla mnie ten pomysł jest znikąd.

Zadanie jest z książki "Algebra i teoria liczb" p. Adama Neugebauera. Widziałem temat, w którym ktoś planował założenie tematu, w którym są rozwiązania zadań i ćwiczeń, ale tego planowanego tematu, w którym są jakiekolwiek rozwiązania, nie mogę znaleźć.

Chyba coś źle przepisałeś...
\(\displaystyle{ \frac{ 5^{125} }{ 5^{25} } = 5^{100} =5 \cdot 5 ^{99}}\)
Ta liczba niewątpliwie jest złożona.

Przecież to jest po prostu \(\displaystyle{ 5^{100}}\), co jest oczywiście złożone.

Nie chodziło Ci o \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\)?

Tak, zmieniłem. Dzięki.

W takim razie zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1}\)

Podstaw \(\displaystyle{ x=5^{25}}\) i dalej łatwo-- 20 lip 2016, o 16:04 --Jeszcze dodam, że jest to zadanie 16. z IMO 1992 Shortlist

Dzięki. Teraz przypomniałem sobie rozkład \(\displaystyle{ x^{n} -y ^{n}}\) i wszystko jest jasne .