Matematyka.pl

Witam forumowiczów!

Mam do rozwiązania liniowy układ równań różniczkowych w formie macierzowej:
\(\displaystyle{ X' = A X + U.}\)

Niektóre wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są równe zeru. Czy mimo to mogę rozwiązywać to równanie metodą Euler-a (z wartościami równym zeru)? Wydaje mi się, że nie mogę zredukować wymiaru macierzy \(\displaystyle{ A}\), ponieważ musiałbym wtedy skrócić wektor \(\displaystyle{ U}\) i nie wiem, czy to będzie poprawne.

Wydaje mi się, że możesz.
Wzdłuż kierunków (być może chwilowych) odpowiadających zerowym własnościom własnym układ będzie ewoluował jedynie pod wpływem wymuszenia \(\displaystyle{ U}\) (na ewolucję nie będzie miał wpływ stan układu \(\displaystyle{ X}\)).

Mam jeszcze pytanie. Wychodzą mi 3 wartości własne macierzy (w tym jedna równa zeru) - każda krotności 2. Podprzestrzeń niektórych wektorów \(\displaystyle{ v}\), będących rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \left( A - \lambda I \right) v = 0}\)
jest większa niż krotność wartościwłasnej. Może zajść taka sytuacja?

Jeżeli \(\displaystyle{ geom(\lambda) = dim(ker(A-\lambda \cdot I_n))}\) (czyli wymiar rozwiązania Twojego układu równań, tzw. krotność geometryczna) to zachodzi wówczas \(\displaystyle{ 1 \le geom(\lambda) \le arytm(\lambda)}\), gdzie \(\displaystyle{ arytm}\) - krotność arytmetyczna, czyli krotność tego pierwiastka. Odpowiadając na Twoje pytanie krotność geometryczna nie może wyjść większa niż krotność pierwiastka.

Spytam jeszcze z ciekawości. Co to za funkcja \(\displaystyle{ ker}\)? Jak się ją definiuje? Trudno w internecie coś znaleźć nie mając pełnej nazwy funkcji.

jądro (przeciwobraz zera)

AloneAngel pisze:Odpowiadając na Twoje pytanie krotność geometryczna nie może wyjść większa niż krotność pierwiastka.

Ale przecież dla krotności równej jedności wychodzą często wektory własne o wymiarze podprzestrzeni równym rzędowi macierzy \(\displaystyle{ A}\). Zatem cytowane stwierdzenie nie jest zawsze prawdziwe. Jesteś pewny swojego stwierdzenia? Może ktoś potwierdzić to dowodem?

Pozdrawiam!

Tak, jestem pewien tego stwierdzenia, tego nauczył mnie szanowny pan dr Kwietniak, który raczej wiedział co wykłada. Jeżeli masz wartość własną krotności 1 to wymiar rozwiązania odpowiedniego układu równań (czyli wymiar podprzestrzeni) jest równy 1, chyba, że ja czegoś nie zrozumiałem. Możesz pokazać na konkretnym przykładzie gdzie to co napisałem nie jest prawdziwe?

Sorry, to mój błąd. Źle sobie coś zinterpretowałem. Dziękuję za pomoc.