Matematyka.pl

Mam zadanie z XVII Międzynarodowych Mistrzostw Francji w Grach Matematycznych i logicznych (finał międzynarodowy dzień I) z 2003 r.

Fibo ma serwetę w kształcie pięciokąta foremnego. W pierwszym etapie usuwa, z każdego boku pięciokąta, trójkąt w taki sposób, aby otrzymać 6 mniejszych pięciokatów foremnych łączących się jednym bokiem . W drugim etapie stosuje tę operację "wycinania" do poprzednio otrzymanej figury . Po piątym etapie, Fibo otrzymuje serwetkę, której pole wynosi \(\displaystyle{ 100^cm{2}}\). Jakie było pole powierzchni serwety wyjściowej wyrażone w \(\displaystyle{ cm^{2}}\) po zaokrągleniu do najbliższego \(\displaystyle{ cm^{2}}\) ?

Uzyskałem wynik \(\displaystyle{ 170cm^{2}}\) , czy ktos mógłby sprawdzic czy jest prawidłowy?
Niestety na stronie odpowiedzi do tego zadania nie ma.

Rysunek jest w zadaniu 17:

\(\displaystyle{ q= \frac{P_0}{P_1}= \frac{P_1}{P_2}= ....= \frac{P_4}{P_5}= \frac{6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{25+10 \sqrt{5} } }{4}+5 \cdot \frac{a^2}{2}\sin 36^o }{6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{25+10 \sqrt{5} } }{4} } =\\= \frac{6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{25+10 \sqrt{5} } }{4}+5 \cdot \frac{a^2}{2} \frac{ \sqrt{10-2 \sqrt{5} } }{4} }{6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{25+10 \sqrt{5} } }{4} } \approx 1,1423}\)
\(\displaystyle{ P_0=P_5q^5=100 \cdot (1,1423)^5 \approx 194,5}\)

Sprawdź czy się nie pomyliłem w obliczeniach

Fibo wyciął \(\displaystyle{ 1280}\) trójkątów o boku \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ 320}\) o boku \(\displaystyle{ 3x}\), \(\displaystyle{ 80}\) o boku \(\displaystyle{ 9x}\), \(\displaystyle{ 20}\) o boku \(\displaystyle{ 27x}\) i \(\displaystyle{ 5}\) o boku \(\displaystyle{ 81x}\), przy czym pierwotnie serwetka miała kształt pięciokąta o boku długości \(\displaystyle{ 243x}\).

Pole trójkątów to

\(\displaystyle{ S_3 = \frac{58025 \sqrt{3} x^2}{4}}\),

zaś pięciokąta:

\(\displaystyle{ S_5 = \frac{59049}{4} \sqrt{25+10 \sqrt{5}} x^2}\).

Różnica tych wielkości to \(\displaystyle{ 100}\). Skoro \(\displaystyle{ x \approx 0.0361629}\), to \(\displaystyle{ S_5 \approx 132.858}\). Kiedy rozwiązywałem to zadanie, nie było jeszcze rysunku i założyłem, że nie tniemy środka serwety - trochę to zmienia wynik.

powinno być 100 razy q do potegi czwartej

Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ 195}\)