Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: a4karo » 16 lip 2016, o 08:29

W kostce \(\displaystyle{ [0,1]^3}\) wybieramy losowo punkt \(\displaystyle{ (a,b,c)}\).
Wyznacz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

\(\displaystyle{ A}\): Trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a+b,b+c,c+a}\) ma boki \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\).
\(\displaystyle{ B}\).:Trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) ma boki \(\displaystyle{ a+b,b+c,c+a}\).

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: bakala12 » 16 lip 2016, o 20:20

A: Z nierówności trójkąta sprawdzamy łatwo, że \(\displaystyle{ a+b, b+c, c+a}\) są bokami pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wszystkie dodatnie.
Skoro boki dwóch trójkątów są takie same, to te trójkąty są przystające i możliwe są 3 przypadki:
1. \(\displaystyle{ a+b=2a}\). Stąd łatwo wynika, że \(\displaystyle{ a=b}\), a więc mamy \(\displaystyle{ a+c = b+c}\), czyli w konsekwencji \(\displaystyle{ 2b = 2c}\) (nie wiadomo czy \(\displaystyle{ a+c=2b}\) czy też \(\displaystyle{ b+c=2b}\), ale nie ma to znaczenia). W konsekwencji musi być \(\displaystyle{ a=b=c}\).
2. \(\displaystyle{ a+b = 2b}\). Przypadek całkowicie analogiczny do 1. Również dostajemy \(\displaystyle{ a=b=c}\).
3. \(\displaystyle{ a+b = 2c}\) oraz \(\displaystyle{ b+c = 2a}\) i \(\displaystyle{ c+a=2b}\) (w przeciwnym razie dostajemy przypadek analogiczny do 1 lub 2). Bez utraty ogólności (dla układu równań, nie dla zadania), niech \(\displaystyle{ a}\) będzie tutaj najmniejszą z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\). Z drugiego równania mamy:
\(\displaystyle{ 2a = b+c \ge a+a = 2a}\) zatem muszą zachodzić równości \(\displaystyle{ b=a}\) i \(\displaystyle{ c=a}\) co daje \(\displaystyle{ a=b=c}\).

Zatem zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) zachodzi pod warunkiem, że \(\displaystyle{ a=b=c>0}\). Mamy \(\displaystyle{ P\left(A\right) = 0}\).

W przypadku \(\displaystyle{ B}\) zakładając, że \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) są bokami trójkąta, otrzymujemy dokładnie te same układy równań co w \(\displaystyle{ A}\). A więc rozumując analogicznie \(\displaystyle{ P\left( B\right) = 0}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: a4karo » 16 lip 2016, o 21:24

\(\displaystyle{ A}\) jest OK (choć można było trochę prościej to zaargumentować).

Przypadek \(\displaystyle{ B}\), choć pozornie podobny, nie jest taki sam. Zauważ co napisałeś na początku ostatniego zdania (dlatego właśnie oprócz geometryczno-probabilistycznej jest to również zagadka logiczna)

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: bakala12 » 16 lip 2016, o 23:38

Miałem to oczywiście na uwadze, że \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) muszą spełniać warunki na nierówność trójkąta, jednak świadomie odpuściłem to założenie (wziąłem je pod uwagę na koniec, jednak nie zmieniło to odpowiedzi).

PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: a4karo » 17 lip 2016, o 07:32

Tak naprawdę napisałes już ten argument w w punkcie 3. Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest najkrótszym bokiem, to równość \(\displaystyle{ 2a=p+q}\) (gdzie \(\displaystyle{ p,q\in\{a,b,c\}, p\neq q}\) implikuje \(\displaystyle{ p=q=a}\).

Natomiast w przypadku \(\displaystyle{ A}\) prawdopodobieństwo nie jest zerowe własnie z powodu asymetrii założeń (pomyśl dlaczego )

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: timon92 » 17 lip 2016, o 12:29

bakala12 pisze:PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A
patrzymy na sumę kwadratów boków i dostajemy równość \(\displaystyle{ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 = (2a)^2+(2b)^2+(2c)^2}\) czyli po przegrupowaniu wyrazów \(\displaystyle{ 0=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\) czyli \(\displaystyle{ a=b=c}\)

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: bakala12 » 17 lip 2016, o 12:30

Natomiast w przypadku A prawdopodobieństwo nie jest zerowe własnie z powodu asymetrii założeń (pomyśl dlaczego )
Nic z tego nie rozumiem. Możesz jaśniej?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: a4karo » 17 lip 2016, o 13:14

Zastanów się kiedy jest prawdziwe zdanie z punktu B

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: bakala12 » 17 lip 2016, o 14:40

Wtedy kiedy \(\displaystyle{ a,b,c >0}\) oraz spełniają warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b>c \\ b+c>a \\ c+a>b \end{cases}}\)
Ponadto trójkąty o bokach \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) oraz \(\displaystyle{ a+b,b+c,c+a}\) są przystające (ileś tam możliwych układów równań).

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: a4karo » 17 lip 2016, o 14:59

Nie. To zdanie jest prawdziwe również wtedy, gdy z odcinków nie da się ułożyć trójkąta.

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: bakala12 » 17 lip 2016, o 15:08

No tak, z fałszu wynika wszystko. Ale łatwo się oszukałem

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: a4karo » 18 lip 2016, o 00:41

timon92 pisze:
bakala12 pisze:PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A
patrzymy na sumę kwadratów boków i dostajemy równość \(\displaystyle{ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 = (2a)^2+(2b)^2+(2c)^2}\) czyli po przegrupowaniu wyrazów \(\displaystyle{ 0=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\) czyli \(\displaystyle{ a=b=c}\)
Ładnie

Awatar użytkownika
Santiago A
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 22 sty 2016, o 20:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zaragoza

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: Santiago A » 18 lip 2016, o 12:54

W punkcie b) dostajemy \(\displaystyle{ 50}\) procent szans na sukces, jeżeli nie pomyliłem się w rachunkach.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne

Post autor: a4karo » 18 lip 2016, o 14:17

Santiago A pisze:W punkcie b) dostajemy \(\displaystyle{ 50}\) procent szans na sukces, jeżeli nie pomyliłem się w rachunkach.
Szczerze mówiąc nie chciało mi się policzyć tych wszystkich włączeń/wyłączeń

ODPOWIEDZ