kolejna granica

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
grzegorz87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 29 gru 2006, o 15:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnowskie Gory
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 53 razy

kolejna granica

Post autor: grzegorz87 » 5 wrz 2007, o 20:16

oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
1) \(\displaystyle{ u_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}}\)
2) \(\displaystyle{ u_{n}= \frac{n!}{n^n}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

kolejna granica

Post autor: Piotr Rutkowski » 5 wrz 2007, o 20:24

2) Hehe, posłużę się zadaniem z książki profesora Bednarka "150 zadań z matematyki elementarnej". W tej książce podany jest dowód, że \(\displaystyle{ lim\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}}\), z czego łatwo można wywnioskować, że nasz ciąg ma granicę w zerze
EDIT:Sorki, że w taki sposób to Ci rozwiązałem, ale jest to pierwsze co mi przychodzi do głowy

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7101
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2626 razy
Pomógł: 687 razy

kolejna granica

Post autor: mol_ksiazkowy » 5 wrz 2007, o 20:26

1) \(\displaystyle{ u_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}= \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n\sqrt{n}}}}}}\)

grzegorz87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 29 gru 2006, o 15:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnowskie Gory
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 53 razy

kolejna granica

Post autor: grzegorz87 » 5 wrz 2007, o 20:42

dzięki, z drugim sie już uporałem

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

kolejna granica

Post autor: setch » 5 wrz 2007, o 20:49

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n!(n+1)}{(n+1)(n+1)^n}=\frac{n!}{(n+1)^n}\\
\lim_{n \to } \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to }\left(\frac{n!}{(n+1)^n} \frac{n^n}{n!}\right) = \lim_{n \to }\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\ldots = \frac{1}{e} } a_n=0}\)


Twierdzenie i dowód w tym poście.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

kolejna granica

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 20:53

Lub np:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{n^{n}} = \frac{1}{n}\cdot \frac{n!}{n^{n - 1}}}\)
i z trzech ciągów, bo nietrudno pokazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{n^{n - 1}} qslant 1}\)

ODPOWIEDZ