Matematyka.pl

Witajcie,
\(\displaystyle{ \phi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3}\) dane jest przez przyporządkowania:
\(\displaystyle{ [2,1] \to [5,7,5]}\)
\(\displaystyle{ [3,1] \to [6,11,7]}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ \phi ([x_1, x_2])}\).

I teraz korzystamy w rozwiązaniu z tego, że \(\displaystyle{ ([2,1], [3,1])}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) - zgadzam się.
Przedstawiamy wektor dowolny z dwuwymiarowej przestrzeni w tej bazie:
\(\displaystyle{ [x_1, x_2] = (-x_1+3x^2)[2,1] + (x_1-2x_2)[3,1]}\)
To jest to miejsce, którego nie rozumiem. To, że jest bazą to oznacza dla mnie istnieje liniowej kombinacji, ale ona powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ [x_1, x_2] =a[2,1] +b[3,1]}\)
a nie tak jak napisałem powyżej. O co chodzi ?

Wyznacz z tego co napisałeś \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Po co nowa baza? Wystarczy, że \(\displaystyle{ [1;0]}\) i \(\displaystyle{ [0;1]}\) są bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\).

Ja zrobiłbym tak:

• \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5\\7\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\quad\wedge\quad\begin{bmatrix}6\\11\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}\)

Po rozpisaniu z otrzymanego układu równań wyznaczam współczynniki \(\displaystyle{ a,\;b,\;c,\;d,\;e,\;f}\) macierzy i wówczas:

• \(\displaystyle{ \phi\left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax_1+bx_2\\cx_1+dx_2\\ex_1+fx_2\end{bmatrix}}\)

SlotaWoj pisze:Po co nowa baza? Wystarczy, że \(\displaystyle{ [1;0]}\) i \(\displaystyle{ [0;1]}\) są bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\).

Ja zrobiłbym tak:

Tym sposobem też można, ale czy jest on łatwiejszy niż to, co sugeruje AiDi ?
Poza tym nie wyjaśnia autorowi zadania problemu, o który pytał.

Dzięki wielkie Panowie za pomoc.