Matematyka.pl

Witam,
Tak jak w temacie - wydaje mi się, że nie.
Np.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(1+\frac{1}{n})^n}\) jest rozbieżny.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(1+\frac{1}{n})^n}\) też jest rozbieżny.

Gdy dodamy te dwa szeregi to dostaniemy \(\displaystyle{ \sum 0}\) czyli szereg jest zbieżny.

Co o tym myślicie ?

Dobrze myślisz.

Teraz inne problemy:

1. Oba szeregi są o wyrazach nieujemnych. Jak jest wtedy.
2. Jeden szereg zbieżny, drugi rozbieżny. Znaki wyrazów - na później.

szw1710 pisze: 1. Oba szeregi są o wyrazach nieujemnych. Jak jest wtedy.

To jest intuicyjne, że jeśli oba szeregi są rozbieżne i mają nieujemne wyrazy to i ich suma jest rozbieżna, wynika to z kryterium porównawczego. Przyjmijmy nawet więcej, mianowicie:

\(\displaystyle{ \sum a_n}\) - rozbieżny
\(\displaystyle{ \sum b_n}\) - dowolny
\(\displaystyle{ \sum a_n+b_n \ge \sum a_n}\). Na mocy kryterium porównawczego suma szeregów jest rozbieżna.

Widać więc, że założenie o nieujemności jest silne.

szw1710 pisze: 2. Jeden szereg zbieżny, drugi rozbieżny. Znaki wyrazów - na później.

Wyżej ustaliłem (mam nadzieję, że dobrze), że zakładając nieujemność wyrazów dodanie rozbieżnego do dowolnego daje rozbieżny.

A teraz nie zakładajmy nieujemności wyrazów.
Weźmy: \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}}\) - rozbieżny
\(\displaystyle{ \sum (-1)^n \frac{1}{n}}\) - zbieżny na mocy kryterium Leibniza
\(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}(1+(-1)^n)}\) - zbieżny na mocy kryterium Dirichleta, bo:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) jest od pewnego miejsca monotoniczny i zbiega do zera, natomiast \(\displaystyle{ (1+(-1)^n)}\) ma ograniczony ciąg sum częściowych, a dokładniej można go ograniczyć przez dwójkę.

Czyli jak widać suma szeregu zbieżnego i rozbieżnego może dać ciąg zbieżny. Jeśli założymy nieujemność sum częściowych obu szeregów to wtedy suma rozbieżnego i (ro)zbieżnego daje rozbieżny.

Co o tym sądzisz ?

Co o tym sądzisz.

Drugi szereg (czyli \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}(1+(-1)^n)}\)) to zwyczajnie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}}\). Co o tym sądzisz?

Zostają nam tylko wyrazy parzyste i mają one postać \(\displaystyle{ \frac{2}{2k}=\frac{1}{k}}\).

szw1710 pisze:Drugi szereg (czyli \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}(1+(-1)^n)}\)) to zwyczajnie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}}\). Co o tym sądzisz?
.

Masz rację, ale przecież prawidłowo zastosowałem kryterium Dirichleta...
Gdzie jest błąd ?

Najwyraźniej nie rozumiesz kryterium Dirichleta.
Aby się na nie powołać, musiałbyś mieć ograniczoność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}1+(-1)^n}\), a tymczasem np. dla parzystych \(\displaystyle{ N}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}1+(-1)^n =N\rightarrow \infty}\), gdy \(\displaystyle{ N\rightarrow \infty}\).
Ty zaś mylisz to z ograniczonością \(\displaystyle{ 1+(-1)^n}\), która nic Ci w tym kontekście nie daje.

Premislav pisze:Najwyraźniej nie rozumiesz kryterium Dirichleta.
Aby się na nie powołać, musiałbyś mieć ograniczoność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}1+(-1)^n}\), a tymczasem np. dla parzystych \(\displaystyle{ N}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}1+(-1)^n =N\rightarrow \infty}\), gdy \(\displaystyle{ N\rightarrow \infty}\).
Ty zaś mylisz to z ograniczonością \(\displaystyle{ 1+(-1)^n}\), która nic Ci w tym kontekście nie daje.

Trochę nie rozumiem.
Chcę, aby \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}1+(-1)^n}\) miało ograniczony ciąg sum częściowych, więc wypiszmy pierwsze wyrazy:
\(\displaystyle{ 0, 0 + 2 = 2, 2 + 1 + (-1) = 2, 2 + 1 + 1 = 4, 4 + 1 + (-1) = 4, 4 + 1 + 1 = 6}\)
Faktycznie, że ciąg sum częściowych nie jest ograniczony - faktycznie pomyliłem z ograniczonością ciągu, a nie ciągu sum częściowych.
Ograniczony jest np. ciąg sum częściowych dla \(\displaystyle{ \sum (-1)^n}\).

Już widzę gdzie źle myślałem. Teraz natomiast chcę zastanowić się czy jest możliwe, żeby dodając do siebie szereg rozbieżny i zbieżny dostać zbieżny. Jutro spróbuję coś wymyślić.

Podpowiedź: nie jest to możliwe.

Premislav pisze:Podpowiedź: nie jest to możliwe.

No cóż, nie wydaje się to takie łatwe.
Powiedzmy, że mamy szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\), który jest rozbieżny.
Powiedzmy, że mamy szereg \(\displaystyle{ \sum b_n}\), który jest zbieżny.
Jeśli obydwa szeregi mają nieujemne wyrazy ciągów sum częściowych to wówczas:
\(\displaystyle{ \sum a_n + b_n \ge \sum a_n \ge 0}\), czyli na mocy kryterium porównawczego suma jest rozbieżna.

W sumie nic mądrzejszego teraz nie wymyślę. Możecie mi powiedzieć ?

Biorąc pod uwagę to, jak wygląda kryterium porównawcze, ja bym jednak zapisywał
\(\displaystyle{ a_n+b_n \ge a_n}\) i tak dalej (z tego też wynika odpowiednia nierówność dla ciągów sum częściowych obu szeregów). [ta nierówność, którą napisałeś, też jest prawdziwa, ale nie tak wygląda kryterium porównawcze]

Ogólnie: niech \(\displaystyle{ S_k}\) - suma \(\displaystyle{ k}\) początkowych wyrazów szeregu liczbowego \(\displaystyle{ \sum_{}^{} (a_n+b_n)}\), gdzie \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) jest rozbieżny, a \(\displaystyle{ \sum_{}^{} b_n}\) jest zbieżny.
Skorzystamy z warunku Cauchy'ego:
rozbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) oznacza, że dla pewnego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\)
i dla każdego \(\displaystyle{ N \in \NN}\) istnieją takie \(\displaystyle{ k, l\in \NN}\), że \(\displaystyle{ k>N \wedge l>N \wedge
\left| \sum_{n=1}^{k}a_n - \sum_{n=1}^{l}a_n \right|\ge \varepsilon}\),
natomiast zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{}^{}b_n}\) jest równoważna temu, że
dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że
dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ k, l>N}\) mamy \(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1}^{k}b_n - \sum_{n=1}^{l}b_n \right|< \varepsilon}\)
Weźmy zatem jedno konkretne \(\displaystyle{ \varepsilon_1}\) z pierwszego warunku i ustalmy dowolne \(\displaystyle{ N_0}\) tak duże, by dla wszystkich \(\displaystyle{ k, l>N_0}\) było
\(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1}^{k}b_n - \sum_{n=1}^{l}b_n \right|< \frac{\varepsilon_1}{2}}\)
(możemy tak zrobić, bo drugi szereg jest zbieżny).
Z pierwszego warunku (rozbieżność \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\)) wynika, że
istnieją takie \(\displaystyle{ k_0, l_0> N_0}\), że
\(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1}^{k_0}a_n - \sum_{k=1}^{l_0}a_n \right|\ge \varepsilon_1}\).
Wówczas z nierówności trójkąta mamy:
\(\displaystyle{ \left| S_{k_0}-S_{l_0}\right| \ge \left| \sum_{n=1}^{k_0}a_n - \sum_{k=1}^{l_0}a_n \right|-\left| \sum_{n=1}^{k_0}b_n - \sum_{k=1}^{l_0}b_n \right| \ge \varepsilon_1-\frac{\varepsilon_1}{2}= \frac{\varepsilon_1}{2}}\)
To dowodzi, że ciąg sum częściowych szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} (a_n+b_n)}\) nie jest ciągiem Cauchy'ego. Zatem szereg
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} (a_n+b_n)}\) nie spełnia warunku Cauchy'ego, a stąd wynika, że jest on rozbieżnym.

-- 10 lip 2016, o 17:40 --

Niestety w tej chwili nie przychodzi mi do głowy prostszy argument.

Gdyby i \(\displaystyle{ \sum a_n}\) był rozbieżny, a \(\displaystyle{ \sum b_n}\) i \(\displaystyle{ \sum (a_n+b_n)}\) zbieżne, to
\(\displaystyle{ \sum a_n=\sum (a_n+b_n)-\sum b_n}\) byłby...

matinf, Nie jestem pewny czy Twoje myślenie jest dobre bo żeby otrzymać z tego zero trzeba by było złożyć te dwa szeregi w jeden a robić tak można tylko z szeregami zbieżnymi, obliczyć by to można było jakby dało się policzyć to "po kolei" czyli granicę z pierwszego dodać granice z drugiego czyli rozbieżny będzie.

-- 10 lip 2016, o 21:15 --

ps. chodzi mi o pierwszy post w tym temacie.

pi0tras pisze:matinf, Nie jestem pewny czy Twoje myślenie jest dobre bo żeby otrzymać z tego zero trzeba by było złożyć te dwa szeregi w jeden a robić tak można tylko z szeregami zbieżnymi, obliczyć by to można było jakby dało się policzyć to "po kolei" czyli granicę z pierwszego dodać granice z drugiego czyli rozbieżny będzie.

-- 10 lip 2016, o 21:15 --

ps. chodzi mi o pierwszy post w tym temacie.

Nie. Spójrz a definicje sumy szeregów.. Rozumowanie matinf z pierwszego posta jest poprawne.

a4karo pisze:Gdyby i \(\displaystyle{ \sum a_n}\) był rozbieżny, a \(\displaystyle{ \sum b_n}\) i \(\displaystyle{ \sum (a_n+b_n)}\) zbieżne, to
\(\displaystyle{ \sum a_n=\sum (a_n+b_n)-\sum b_n}\) byłby...

Ten argument muszę przemyśleć jeszcze.

@Premislav dzięki za rozpisanie, nie było to łatwe.

Podsumowując:
1. suma szeregów zbieżnych jest zbieżna.
2. suma szeregów rozbieżnych może być zbieżna, albo rozbieżna
3. suma szeregu rozbieżnego i dowolnego (oba o nieujemnych znakach) jest rozbieżna
4. suma szeregu zbieżnego i rozbieżnego (nie zakładając nic o znakach) będzie rozbieżna.

Jak to się przenosi co do bezwzględnej zbieżności ?

Jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny i \(\displaystyle{ \sum_{}^{} b_n}\)
jest bezwzględnie zbieżny, to \(\displaystyle{ \sum_{}^{} (a_n+b_n)}\) jest bezwzględnie zbieżny, bo
z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ |a_{n}+b_{n}|\le |a_{n}|+|b_{n}|}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) nie jest bezwzględnie zbieżny i \(\displaystyle{ \sum_{}^{} b_n}\)
nie jest bezwzględnie zbieżny (jestem nie najlepszy z logiki, ale wydaje mi się, że zaprzeczeniem bezwzględnej zbieżności jest po prostu brak bezwzględnej zbieżności, co może się łączyć z rozbieżnością lub ze zbieżnością warunkową w zależności od sytuacji), to
na dwoje babka wróżyła:
np. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( 1+ \frac{1}{n}+\left( -\frac 1 n\right) \right) = \sum_{n=1}^{ \infty }1}\)
nie jest zbieżny bezwzględnie
( tak samo, jak \(\displaystyle{ \sum_{}^{}\left(1+\frac 1 n\right)}\) i \(\displaystyle{ \sum_{}^{} -\frac 1 n}\)),
lecz np. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{(-1)^n}{n}+ \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \right)}\)
jest zbieżny bezwzględnie, podczas gdy ani
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n}}\), ani \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}}\) nie jest zbieżny bezwzględnie.
I tak dalej. Nad pozostałymi przypadkami zastanów się sam, jeśli coś wymyślisz lub coś zrobisz, ale napotkasz problemy, to napisz, co masz.