Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int \int \int_{V} \frac{dxdydz} {(1+x+y+z)^{4}}}\) , gdzie bryła V ograniczona jest płaszczyznami\(\displaystyle{ x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1}\).
Wynik: \(\displaystyle{ \frac{1}{48}}\)


\(\displaystyle{ \int \int \int_{V}(2x+3y−z) dxdydz}\), gdzie V jest graniastosłupem ograniczonym płaszczyznami \(\displaystyle{ x = 0}\), \(\displaystyle{ y = 0}\), \(\displaystyle{ z = 0}\), \(\displaystyle{ z = 3}\) i \(\displaystyle{ x + y = 2}\).
Wynik: \(\displaystyle{ 11}\)

Problem mam z określeniem przedziałów całkowania.

1)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{1-x} \left( \int_{0}^{1-x-y} \frac{1}{(1+x+y+z)^4} \mbox{d}z\right) \mbox{d}y \right) \mbox{d}x=....}\)

2)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\left( \int_{0}^{2-x} \left( \int_{0}^{3}\left( 2x+3yz\right) \mbox{d}z\right) \mbox{d}y \right) \mbox{d}x=....}\)

A jakieś uzasadnienie jak do tego dojść?

Przede wszystkim, jeżeli tego nie widzisz, to sobie narysuj. W pierwszej całce możesz sobie np. narysować jak wygląda \(\displaystyle{ x+y+z=1}\) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ 0xy}\), czyli dla \(\displaystyle{ z=0}\), a następnie narysować wszystko w trójwymiarowej przestrzeni. Płaszczyna \(\displaystyle{ x+y+z=1}\) przecina osie układu współrzędnych w punktach \(\displaystyle{ (1,0,0)}\), \(\displaystyle{ (0,1,0)}\), \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) kolejno dla osi \(\displaystyle{ 0x}\), \(\displaystyle{ 0y}\), \(\displaystyle{ 0z}\). Tak umiejscowiona i nachylona płaszczyzna wskazuje, że przez ograniczenia \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ y=0}\), \(\displaystyle{ z=0}\) bierzemy pod uwagę tylko pierwszą ósemkę układu, czyli obserwujemy co się dzieje dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\). W tym obszarze, między płaszczyznami \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ y=0}\), \(\displaystyle{ z=0}\), a płaszczyzną \(\displaystyle{ x+y+z=1}\) tworzy się ostrosłup trójkątny. On jest właśnie obszarem po którym całkujesz. Ograniczenie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) możesz bardzo łatwo zauważyć na rysunku na płaszczyźnie \(\displaystyle{ 0xy}\), o którym mowa na początku. Ograniczenie \(\displaystyle{ z}\) już naturalnie - z dołu \(\displaystyle{ z=0}\), a z góry przekształcone równanie płaszczyzny do postaci \(\displaystyle{ z(x,y)}\). Upraszczając, w takim przypadku i przypadkach podobnych - \(\displaystyle{ x}\) można ograniczyć przez liczby, \(\displaystyle{ y}\) przez funkcję \(\displaystyle{ x}\) (w szczególności liczby - funkcja stała), a \(\displaystyle{ z}\) przez funkcję \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) (w szczególności liczby). Oczywiście kolejność całkowania możesz zmieniać.

Druga całka jest nawet prostsza. Ponieważ rozważasz \(\displaystyle{ 0<z<3}\), to równanie \(\displaystyle{ x+y=2}\) możesz potraktować jako prostą, ale dla każdego \(\displaystyle{ z}\). Wtedy otrzymujesz pionową płaszczyznę, która wraz z twoimi pozostałymi ograniczeniami tworzy twój graniastosłup trójkątny. Ogólnie chyba powinno się mówić, że jeżeli \(\displaystyle{ D}\) jest obszarem będącym rzutem prostokątnym obszaru całkowania na płaszczyznę \(\displaystyle{ 0xy}\), to ta bryła przestrzenna ograniczona jest powierzchniami o równaniach \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\) oraz powierzchnią walcową, której tworzące są prostopadłe do płaszczyzny \(\displaystyle{ 0xy}\) i przechodzą przez punkty brzegowe obszaru \(\displaystyle{ D}\). Reszta analogicznie jak poprzednio.