Matematyka.pl

\(\displaystyle{ xy'=y\tg\left( \frac{y}{x} \right)}\)

Robiłem tak:
\(\displaystyle{ y'= \frac{y}{x}*\tg \frac{y}{x}}\)

teraz mam równanie w postaci:
\(\displaystyle{ y'=f \left( \frac{y}{x}\right)}\)?

Podstawiam:
\(\displaystyle{ z _{\left( x\right) } = \frac{y _{} \left( x\right) }{x} \\
y=zx \\
y'=z'x+z}\)



\(\displaystyle{ z'x=z \tg z-z \\
\frac{\mbox{d}x}{x}= \frac{\mbox{d}z}{z\left( \tg z-1\right) }}\)

Brzydka ta całka z prawej strony .Czy mógłby ktoś mnie nakierować dalej?-- 7 lip 2016, o 20:26 --Próbowałem podstawienia uniwersalnego

\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}z}{z\tan z - z} \\
\left| t=\tan z \ \ \
\mbox{d}z= \frac{\mbox{d}t}{1+t ^{2} }\right|}\)

Nic z tego nie wychodzi, bo z-ty się nie redukują...
Czy jest jakaś inna możliwość, której ja niestety nie dostrzegam ?

A tam na pewno jest tangens?

Tak, na pewno, tylko że jako jest to przykład z tego zbioru zadań, w którym trzeba raczej samemu dojść do tego co "autor miał na myśli" (w moich poprzednich tematach też podawałem zadania z tego zbioru :p )
No kurcze wydaje mi się że znowu miało autorowi wszystko spasować, a nie wyszło...


Mogę jeszcze dodać odpowiedz, jaka była podana do niego, trochę już siedzę nad tym i nie potrafię jakoś przypasować tych funkcji cyklometrycznych do równania wyjściowego...
\(\displaystyle{ y=x\arcsin \frac{x}{C}}\)

Zatem w treści lub w odpowiedzi jest błąd, bo wstawiając takie \(\displaystyle{ y}\) do równania, nie dostaniemy tożsamości. Twoje przekształcenia są OK, a ta całka jest na pierwszy rzut oka nieelementarna.

Popatrzmy:
\(\displaystyle{ xy'=y\tg\left( \frac{y}{x} \right)}\)

Wstawiając do obu stron \(\displaystyle{ y=x\arcsin \frac{x}{C}}\) i korzystając z: \(\displaystyle{ \tg x= \frac{\sin x}{\cos x}=+/- \frac{\sin x}{ \sqrt{1-\sin^2 x} }}\) oraz ze wzoru na pochodną iloczynu i pochodną funkcji złożonej, mamy
\(\displaystyle{ x \arcsin \frac{x}{C}+ \frac{x^2}{C \sqrt{1-\left( \frac x C\right)^2 } }=+/- \frac{x}{C \sqrt{1-\left( \frac x C\right)^2 } } x\arcsin \frac{x}{C}}\),
co zazwyczaj jest bzdurą.-- 8 lip 2016, o 00:00 --Za to takie rozwiązanie byłoby poprawne np. dla równania
\(\displaystyle{ xy'=x\tg\left( \frac{y}{x} \right)+y}\)

Premislav napisał(a):

Wstawiając do obu stron \(\displaystyle{ y=x\arcsin \frac{x}{C}}\) i korzystając z: \(\displaystyle{ \tg x= \frac{\sin x}{\cos x}=+/- \frac{\sin x}{ \sqrt{1-\sin^2 x} }}\) oraz ze wzoru na pochodną
iloczynu i pochodną funkcji złożonej, mamy
\(\displaystyle{ x \arcsin \frac{x}{C}+ \frac{x^2}{C \sqrt{1-\left( \frac x C\right)^2 } }=+/- \frac{x}{C \sqrt{1-\left( \frac x C\right)^2 } } x\arcsin \frac{x}{C}}\),
co zazwyczaj jest bzdurą.

Dzięki za twój czas poświęcony do przeanalizowania tego dziwnego przykładu . A tak już idąc tym tropem, w jaki sposób to przekształciłeś?

\(\displaystyle{ \tan \frac{y}{x}= +/- \frac{x}{C \sqrt{1-\left( \frac x C\right)^2 } }}\)

Pierwszym krokiem byłoby

\(\displaystyle{ \tan \frac{y}{x}=\tan \frac{\arcsin \frac{x}{C}}{x}}\)?

Premislav napisał(a):

Za to takie rozwiązanie byłoby poprawne np. dla równania
\(\displaystyle{ xy'=x\tg\left( \frac{y}{x} \right)+y}\)

Masz racje, sprawdziłem to, może i już zapisze...

\(\displaystyle{ xy'=x\tan \frac{y}{x}+y \\
y'=\tan \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \\
z _{\left( x\right) }= \frac{y _{\left( x\right) } }{x} \\
y'=z'x+z \\
z'x=\tan z \\
\frac{\mbox{d}x}{x}= \frac{\mbox{d}z}{\tan z} \\
\ln\left| \sin z\right| =\ln\left| x\right| +C \\
z=\arcsin \left( C _{1} x\right)}\)...

raximon pisze:A tak już idąc tym tropem, w jaki sposób to przekształciłeś?

Skoro wstawiam \(\displaystyle{ y=x\arcsin \frac{x}{C}}\), to
\(\displaystyle{ \tg \frac{y}{x}=\tg\left( \frac{x\arcsin \frac x C}{x} \right)=\tg\left( \arcsin \frac{x}{C} \right)= \frac{\sin\left( \arcsin \frac{x}{C} \right)}{\cos\left( \arcsin \frac{x}{C} \right)}= \frac{ \frac{x}{C} }{\cos\left( \arcsin \frac{x}{C} \right)}=\\=+/- \frac{ \frac{x}{C} }{ \sqrt{1-\sin^2\left( \arcsin \frac{x}{C} \right)} }=+/- \frac{x}{C \sqrt{1-\left(\frac x C \right)^2 } }}\)
W przedostatniej równości skorzystałem z jedynki trygonometrycznej: plus jeśli cosinus jest dodatni, minus - jeśli ujemny.

No tak, zapomniałem o tym iksie w liczniku ...

Przepraszam Cię, ale zauważyłem teraz, że to \(\displaystyle{ +/-}\) nie jest potrzebne, ponieważ
zbiorem wartości arcusa sinusa jest \(\displaystyle{ \left[ -\frac \pi 2; \frac \pi 2\right]}\), a w tym przedziale cosinus jest nieujemny (wewnątrz przedziału nawet dodatni).