Matematyka.pl

Wyznaczyć ekstrema funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x}{2y}+ \frac{2y}{x}, \ x,y>0}\)

No i policzyłem sobie pochodne pierwszego rzędu:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{1}{2y}- \frac{2y}{x^2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{2}{x}- \frac{x}{2y^2}}\)

Przyrównałem do \(\displaystyle{ 0}\) i wyszło \(\displaystyle{ x=2y}\)

No i potem liczę drugiego rzędu, nastepnie podstawiam do wyznacznika i wychodzi \(\displaystyle{ 0}\).
I co teraz mam zrobić?

Spróbować zaatakować problem z innej strony.

Wiesz (z warunku koniecznego na ekstremum), że jeśli funkcja ma ekstremum, to znajduje się ono na półprostej \(\displaystyle{ x=2y, y >0}\). Zauważ, że

\(\displaystyle{ f(2y, y) = \frac{2y}{2y} + \frac{2y}{2y} = 2}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) ograniczona do badanej półprostej jest stała. Ponadto z nierówności między średnimi (\(\displaystyle{ a + b \geq 2\sqrt{ab}}\))

\(\displaystyle{ f(x,y) \geq 2\sqrt{\frac{x}{2y} \frac{2y}{x}} = 2,}\)

zatem każdy punkt na półprostej jest ekstremum (nawet globalnym).

Dzięki
Kolejny przykład z którym mam problem:

\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^3}{3}-xy^2+\frac{y^2}{2}}\)

Wyszły mi tu trzy punkty stacjonarne i wrońskian jest równy \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ (0,0)}\) - i jak to ugryźć?

Zastanów się, jak ta funkcja zachowuje się na prostej \(\displaystyle{ y=0}\).

\(\displaystyle{ f(x,0)=\frac{x^3}{3}}\)

I jeśli by z tego wyliczyć pochodną

\(\displaystyle{ f'_x(x,0)=x^2}\)

Wychodzi na to, że pochodna się zeruje w \(\displaystyle{ x=0}\), więc tam następuje zmiana znaku. Więc jest jakieś ekstremum. A konkretniej to chyba nawet minimum.

Pała z analizy I

Funkcja \(\displaystyle{ x \mapsto x^3/3}\) akurat wybitnie nie ma ekstremum w zerze - jest ujemna na lewo i dodatnia na prawo. Rozważanie naszej funkcji dwu zmiennych akurat na tej szczególnie dobranej prostej ma nas doprowadzić do wykazania, że tam właśnie ekstremum nie ma.

Aż mi się głupio zrobiło

Ok, mam jeszcze ostatni przykładzik - słowo honoru
Polecenie takie samo jak poprzednio.

\(\displaystyle{ f(x,y)=y\cdot\ln\left(x^2+y^2+1\right)}\)

Punkt stacjonarny wyszedł \(\displaystyle{ (0,0)}\), wyznacznik oczywiście \(\displaystyle{ 0}\).
Badanie \(\displaystyle{ f(x,0)}\) od razu pokazuje, że jest to równe \(\displaystyle{ 0}\) - więc wielkiego sensu nie ma.
Z kolei \(\displaystyle{ f(0,y)}\) - tutaj zostanie \(\displaystyle{ y\ln(y^2+1)}\) i to nie jest ekstremum (analogia jak w poprzednim przykładzie) - więc ekstremum w \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje. Dobrze?

Dokładnie

Ok, to jeszcze dla pewności, że umiem
Sytuacja jak w poprzednich przykładach, funkcja:

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^4-y^3-4y^2-4y=x^4-y(y+2)^2}\)

punkt stacjonarny: \(\displaystyle{ (0,-2)}\)

Dla \(\displaystyle{ f(x,-2)}\) rzeczywiście w \(\displaystyle{ x=0}\) mamy minimum, więc póki co jest ok.

Dla \(\displaystyle{ f(0,y)}\) mamy \(\displaystyle{ -y(y+2)^2}\) no i nie mamy tu żadnego ekstremum dla \(\displaystyle{ y=-2}\). Także ekstremum nie istnieje.

Funkcja \(\displaystyle{ -y(y+2)^2}\) ma ekstremum dla \(\displaystyle{ y = -2}\) - jest to minimum lokalne. Co więcej Twoja wyjściowa funkcja w punkcie \(\displaystyle{ (0,-2)}\) posiada minimum lokalne (co oczywiście nie wynika z tego, że na tamtych dwóch prostych je przyjmuje).