Półkole i okrąg

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Maciek1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

Półkole i okrąg

Post autor: Maciek1234 » 5 wrz 2007, o 18:56

Proszę o pomoc w tym zadaniu:
Dane jest półkole o średnicy AB.Okrąg o środku w pkt A i promieniu większym od promienia danego półkola przecina łuk AB w punkcie C i średnicę AB w punkcie D.Niech r oznacza długość promienia półkola a R promień okręgu o środku A.

a)oblicz sinus kąta CAD wiedząc,że R=1/3 r

b)znając długość promienia r i wiedząc,że cos kąta cad=3/4,oblicz wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z punktu C

c)Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC znając długość promienia R i wiedząc,że 3r=2R

z góry dziękuje:))

Pozwoliłem sobie zmienić temat na nieco bardziej barwny i treściwy niż "Zadanie" - DEXiu
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2007, o 18:12 przez Maciek1234, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Jestemfajny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 lis 2006, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: AGH
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 36 razy

Półkole i okrąg

Post autor: Jestemfajny » 6 wrz 2007, o 12:17

Narysuj sobie dobry rysunek i zauważ że doległośc z punktu A do C wynosi R Natamiast odległośc od punktu C do środka połkola o średnicy AB wynosi r tak samo od środka do punktu A.Masz wtedy trójkąt o bokach R,r,r teraz wystarczy tylko z twierdzenia cosinusów skorzystac i wyliczyc \(\displaystyle{ cos(cad)}\) potem z jedynki masz \(\displaystyle{ sin}\).
Przy b wystarczy zapisac że \(\displaystyle{ sin(cad)=\frac{h}{R}}\) zamienic dany cosinus na sinus i wylizcyc h.
ad.c
Wzór na promień okręgu wpisanego:
\(\displaystyle{ r_{1}=\frac{P}{p}}\)
gdzie P to pole a p to połowa obwodu tego trójkąta;
Dodatkowo oznaczmy przez E środek półkola(Połowa średnicy)
mamy trójkąt A,C,E z bokami r,r,R skąd z twierdzenia cosinusów liczymy sobie cosinus kąta cae który wynosi\(\displaystyle{ cos(cae)=\frac{3}{4}}\).Trójkąt A,C,B ma boki równe 2r, R,x
x jest jedyną niewiadomą.Wyliczymy sobie ją znowu z twierdzenia cosinusówgdyz kąt cab jest równy kątowi cae.mamy zatem:\(\displaystyle{ x^{2}=(2r)^2+R^2-2*2r*R*cos(CAB)}\)
dodatkowo r=2/3R więc po przekrztałceniach:\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{7}}{3}R}\)
Pole trójkąta:\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}*R*2r*sin(cab)}\)
gdzie\(\displaystyle{ sin(cab)=\frac{\sqrt{7}}{3}}\)
więc \(\displaystyle{ P=\frac{\sqrt{7}}{6}R}\)
p to wiadomo:)
\(\displaystyle{ p=\frac{R(7+\sqrt{7})}{6}}\)
więc z podanego wyżej wzoru na promień okręgu mamy:\(\displaystyle{ r_{1}=\frac{\sqrt{7}}{7+\sqrt{7}}}\) możemy dodatkowo usunoc niewymiernośc z mianownika i skrócic przez 7 co nam daje\(\displaystyle{ r_{1}=\frac{\sqrt{7}-1}{6}}\)
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2007, o 17:56 przez Jestemfajny, łącznie zmieniany 1 raz.

Maciek1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy

Półkole i okrąg

Post autor: Maciek1234 » 6 wrz 2007, o 14:56

Dziękuje bardzo:)):))a wiesz moze jak jeszcze C zrobić:)??

ODPOWIEDZ