Matematyka.pl

Ktoś mógłby pomóc?

Znajdź wszystkie liczby zespolone takie, że \(\displaystyle{ z^4=-81i}\).

Z czym problem? Można łatwo to zrobić ze wzoru de Moivre'a, bo przecież szukamy pierwiastków 4 stopnia z \(\displaystyle{ -81i}\)

\(\displaystyle{ -81i=81 \left( \cos \frac{3 \pi}{2}+i\sin \frac{3 \pi}{2} \right) \\[1ex]
\sqrt[4]{-81i} \in \left\{ 81^{\frac{1}{4}} \left( \cos \frac{ \frac{3 \pi}{2}+2k \pi}{4}+i \sin \frac{\frac{3 \pi}{2}+2k \pi}{4} \right) , k \in \{ 0,1,2,3 \} \right\} \\[1ex]
\mathrm{Arg} \, \left( \sqrt[4]{-81i} \right) \in \left\{ \frac{3}{8} \pi, \frac{7}{8} \pi, \frac{11}{8} \pi, \frac{15}{8} \pi \right\}}\)

Tak? I co dalej?

Czy może wystarczy jak zapiszę, że \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-81i} \in \left\{ 81^{\frac{1}{4}} \left( \cos \frac{ \frac{3 \pi}{2}+2k \pi}{4}+i \sin \frac{\frac{3 \pi}{2}+2k \pi}{4} \right) , k \in \left\{ 0,1,2,3 \right\} \right\}}\).