Granica

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
grzegorz87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 29 gru 2006, o 15:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnowskie Gory
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 53 razy

Granica

Post autor: grzegorz87 » 5 wrz 2007, o 18:53

Oblicz granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{log_{n}(n^4+1)}{log_{n}(n^2+1}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 19:05

Uniezależnij podstawę logarytmu od \(\displaystyle{ n}\) korzystając z wzoru na zamianę podstaw:
\(\displaystyle{ \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}}\)

grzegorz87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 29 gru 2006, o 15:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnowskie Gory
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 53 razy

Granica

Post autor: grzegorz87 » 5 wrz 2007, o 19:21

nie wiem czy o to chodziło, ale dochodze do momentu takiego i nie wiem co dalej:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{log_{2}(n^4+1)}{log_{2}(n^2+1}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 19:31

Teraz zauważ, że:
\(\displaystyle{ \frac{\log_{2}(n^{4} + 1)}{\log_{2}(n^{2} + 1)} = \frac{\log_{2}(n^{4} + 1) - \log_{2}n^{4} + \log_{2}n^{4}}{\log_{2}(n^{2} + 1) - \log_{2}n^{2} + \log_{2}n^{2}} =\\
=\frac{\log_{2}(1 + \frac{1}{n^{4}}) + 4\log_{2}n}{\log_{2}(1 + \frac{1}{n^{2}}) + 2\log_{2}n}}\)

i pozostaje podzielić licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \log_{2}n}\)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Granica

Post autor: setch » 5 wrz 2007, o 20:04

można tak \(\displaystyle{ \lim_{n \to } \log_b a_n=\log_b \lim_{n \to } a_n}\)?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 20:55

Jak druga granica jest skończona i mieści się w dziedzinie funkcji logarytmicznej, to przy odpowiednich założeniach co do \(\displaystyle{ b}\) czemu nie? Przecież funkcja logarytmiczna jest ciągła.

ODPOWIEDZ