Matematyka.pl

W książce "Algebra i geometria analityczna" T. Jurlewicz, Z. Skoczylas na stronie 115 (wydanie 16)jest napisane, że "Rzut prostokątny \(\displaystyle{ \vec{u}}\) wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) na wektor \(\displaystyle{ \vec{b}}\) wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ \vec{u} = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}}\).

Wzór ten wynika bezpośrednio z definicji iloczynu skalarnego wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\)."
Do tego jest taki obrazek
Obrazek wygasł

I właśnie próbuje to przekształcać i nie wychodzi. Dlatego proszę o wyjaśnienie jak przekształcić wzór na iloczyn skalarny

\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\bigl(\alpha(\vec{a}, \vec{b})\bigr)}\)

tak, aby otrzymać powyższy wzór.

Wiem, że \(\displaystyle{ \cos\bigl(\alpha(\vec{a}, \vec{b})\bigr) = \frac{|\vec{u}|}{|\vec{a}|}}\) ale nawet jak to podstawie to i tak nie wychodzi bo będę mieć

\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{|\vec{u}|}{|\vec{a}|} = |\vec{b}| \cdot |\vec{u}|}\)

i cały czas nie mam tego czego potrzebuje.

Wsk. 1 \(\displaystyle{ \vec{b} =t\vec{u}}\) (dlaczego?)
Wsk. 2 \(\displaystyle{ \vec{a} =\vec{u} +\vec{w}}\) (\(\displaystyle{ w}\) to ta czarna kreska)

Wsk 1. bo wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) "leży" na wektorze \(\displaystyle{ \vec{b}}\) (jest przeskalowany o pewną stałą, waśnie \(\displaystyle{ t}\)).
Wsk 2. Dodawanie wektorów

Ale nadal nie wiem jak to wykorzystać. Mógłbyś napisać całe przekształcenie jak z jednego wzoru dojść do drugiego?

Pomnoż skalarnie \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\) i wykorzystaj wskazówki.

\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\bigl(\alpha(\vec{a},\vec{b})\bigr) = |\vec{u} + \vec{w}| |t\vec{u}| \cos\bigl(\alpha(\vec{a},\vec{b})\bigr)}\)

Nie widzę żeby z tego miał wyjść oczekiwany wzór

\(\displaystyle{ \vec{u} = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}}\).

A nie możesz po prostu napisać tego przekształcenia?

-- 30 cze 2016, o 11:32 --

Dobra, wiem już skąd to wynika. Ktoś inny mi wytłumaczył

Najpierw liczymy wektor jednostkowy dla \(\displaystyle{ \vec{b}}\) czyli

\(\displaystyle{ \hat{b} = \frac{1}{|\vec{b}|}\vec{b}}\).

Teraz szukany wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) to jest iloczyn jego długości i wektora jednostkowego dla \(\displaystyle{ \vec{b}}\) czyli

\(\displaystyle{ \vec{u} = |\vec{u}| \cdot \hat{b}}\).

Z definicji kosinusa wiemy, że

\(\displaystyle{ \cos\bigl(\alpha(\vec{a}, \vec{u})\bigr) = \frac{|\vec{u}|}{|\vec{a}|} \Rightarrow |\vec{u}| = |\vec{a}|\cos\bigl(\alpha(\vec{a}, \vec{u})\bigr)}\).

Oczywiście kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{u}}\) jest taki sam ją między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\).
Z drugiej strony

\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\bigl(\alpha(\vec{a}, \vec{b})\bigr) \Rightarrow \cos\bigl(\alpha(\vec{a}, \vec{b})\bigr) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}}\).

Łącząc wszystko otrzymujemy

\(\displaystyle{ \vec{u} = |\vec{u}| \cdot \hat{b} = |\vec{a}|\cos\bigl(\alpha(\vec{a}, \vec{u})\bigr) \cdot \hat{b} = |\vec{a}|\cos\bigl(\alpha(\vec{a}, \vec{b})\bigr) \cdot \hat{b} = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}}\).

Nie mogłeś tego w ten sposób wytłumaczyć? Swoją drogą nigdzie nie wykorzystuję tutaj wsk. 2

\(\displaystyle{ a\circ b=(u+w)\circ b=\text{Wsk. 2}=u\circ b+w\circ b=\text{Wsk 1}=t(b\circ b)+0}\), stąd \(\displaystyle{ t=\frac{a\circ b}{|b|^2}}\)

Matematyka.pl

przekształcenie wzoru iloczynu skalarnego

przekształcenie wzoru iloczynu skalarnego

przekształcenie wzoru iloczynu skalarnego

przekształcenie wzoru iloczynu skalarnego

przekształcenie wzoru iloczynu skalarnego

przekształcenie wzoru iloczynu skalarnego

przekształcenie wzoru iloczynu skalarnego