Dowód hipotezy?
: 28 cze 2016, o 18:29
Hipoteza Goldbacha jest sformułowana w następujący sposób:
każda liczba naturalna parzysta większa od \(\displaystyle{ 2}\) jest sumą dwóch liczb pierwszych.
Skorzystam z następujących twierdzeń.
Postulat Bertranda – Twierdzenie Czebyszewa
Twierdzenie 1
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) większej lub równej \(\displaystyle{ 1}\) istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od \(\displaystyle{ n}\) i mniejsza lub równa \(\displaystyle{ 2n}\).
Paul Erdős wzmocnił to twierdzenie dowodząc:
Twierdzenie 2
Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n > 6}\), między liczbami \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ 2n}\), znajdują się co najmniej dwie liczby pierwsze – co najmniej jedna postaci \(\displaystyle{ 4k + 1}\), oraz co najmniej jedna postaci \(\displaystyle{ 4m + 3}\).
Twierdzenie 3
Jest tylko jedna parzysta liczba pierwsza: \(\displaystyle{ 2}\).
Każdą licbę parzystą można przedstawić za pomocą dwóch zbiorów liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ 04:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 3}\);
\(\displaystyle{ 06:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 3}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 3}\) do \(\displaystyle{ 5}\);
\(\displaystyle{ 08:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 4}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 4}\) do \(\displaystyle{ 7}\);
\(\displaystyle{ 10:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 5}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 5}\) do \(\displaystyle{ 9}\);
\(\displaystyle{ 12:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 6}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 6}\) do \(\displaystyle{ 11}\);
\(\displaystyle{ 14:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 7}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 7}\) do \(\displaystyle{ 13}\);
\(\displaystyle{ 16:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 8}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 8}\) do \(\displaystyle{ 15}\);
\(\displaystyle{ 18:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 9}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 9}\) do \(\displaystyle{ 17}\);
\(\displaystyle{ 20:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 10}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 10}\) do \(\displaystyle{ 19}\);
i tak dalej.
Liczby pierwsze można ustalić np. za pomocą sita Eratostenesa zaznaczając ostanie liczby z drugiego przedziału. Na przykład ostatnią liczbą dla \(\displaystyle{ 4}\) jest \(\displaystyle{ 3}\), więc zaznaczamy co trzecią liczbę: \(\displaystyle{ 9}\) (dla \(\displaystyle{ 10}\)), \(\displaystyle{ 15}\) (dla \(\displaystyle{ 16}\)), \(\displaystyle{ 21}\) (dla \(\displaystyle{ 22}\)), \(\displaystyle{ 27}\) (dla \(\displaystyle{ 28}\)), itd., pierwszą nieskreśloną liczbą jest \(\displaystyle{ 5}\) (dla \(\displaystyle{ 6}\)) więc zaznaczamy co \(\displaystyle{ 5}\) liczbę: \(\displaystyle{ 15}\) (dla \(\displaystyle{ 16}\)), \(\displaystyle{ 25}\) (dla \(\displaystyle{ 26}\)), \(\displaystyle{ 35}\) (dla \(\displaystyle{ 36}\)) itd.
Przykład:
Weźmy na przykład liczbę 16. Zakładamy że nie wiemy które liczby są liczbami pierwszymi. Dla tej liczby możemy utworzyć takie zbiory liczbowe:
dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 2}\) zgodnie z tw. 1 i 3 liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą pierwszą
dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 4}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 2}\) a \(\displaystyle{ 4}\) jest tylko jedna liczba nieparzysta będąca liczba pierwszą \(\displaystyle{ 3}\) (tw.1 i 3);
dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 6}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 3}\) a \(\displaystyle{ 6}\) jest tylko jedna liczba nieparzysta będąca liczba pierwszą \(\displaystyle{ 5}\) (tw.1 i 3);
dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 8}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 4}\) a \(\displaystyle{ 8}\) są dwie liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 5, 7}\);
dla \(\displaystyle{ n=5}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 10}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 5}\) a \(\displaystyle{ 10}\) są dwie liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 7, 9}\);
dla \(\displaystyle{ n=6}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 12}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 6}\) a \(\displaystyle{ 12}\) są trzy liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 7, 9, 11}\);
dla \(\displaystyle{ n=7}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 14}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 7}\) a \(\displaystyle{ 14}\) są trzy liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 9, 11, 13}\);
dla \(\displaystyle{ n=8}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 16}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 8}\) a \(\displaystyle{ 16}\) są cztery liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 9, 11, 13, 15}\);
Zgodnie z powyżej przytoczonymi twierdzeniami w każdym przedziale jest co najmniej jedna lub dwie liczby pierwsze (dla \(\displaystyle{ n > 6}\)). Dla \(\displaystyle{ n=7}\) mamy trzy liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 9, 11, 13}\) zgodnie z twierdzeniem 2 jest tylko jedna liczba postaci \(\displaystyle{ 4m + 3}\) tak więc \(\displaystyle{ 11}\) jest liczbą pierwszą.
Można to też przedstawić graficznie: (zielona pionowa linia oznacza środek przedziału od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 15}\), zielone punkty oznaczają znane liczby pierwsze)
Na początku wspomniałem że liczbę \(\displaystyle{ 16}\) można przedstawić za pomocą liczb od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 8}\) oraz liczb od \(\displaystyle{ 8}\) do \(\displaystyle{ 15}\).
Wiemy, że w pierwszym zbiorze są takie liczby pierwsze \(\displaystyle{ \{2, 3, 5\}}\) a w drugim zbiorze liczbą pierwszą jest na pewno \(\displaystyle{ 11}\). Liczba \(\displaystyle{ 11}\) jest oddalona od środka przedziału \(\displaystyle{ 8}\) o trzy (\(\displaystyle{ 8+3=11}\)) więc z pierwszej grupy odpowiada jej liczba \(\displaystyle{ 8-3=5}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 5}\) jest liczbą pierwszą więc liczba \(\displaystyle{ 16}\) jest sumą liczb pierwszych \(\displaystyle{ 5, 11}\).
Jest to mocno okrojona wersja by pokazać w zarysie mniej wiecej o co chodzi. Jeśli to uogólnić dla dowolnej parzystej liczby naturalnej i pokazując, że przynajmniej dla jednego z czterech wariantów coś takiego zachodzi czy mogło to być dowodem hipotezy Goldbacha?
każda liczba naturalna parzysta większa od \(\displaystyle{ 2}\) jest sumą dwóch liczb pierwszych.
Skorzystam z następujących twierdzeń.
Postulat Bertranda – Twierdzenie Czebyszewa
Twierdzenie 1
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) większej lub równej \(\displaystyle{ 1}\) istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od \(\displaystyle{ n}\) i mniejsza lub równa \(\displaystyle{ 2n}\).
Paul Erdős wzmocnił to twierdzenie dowodząc:
Twierdzenie 2
Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n > 6}\), między liczbami \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ 2n}\), znajdują się co najmniej dwie liczby pierwsze – co najmniej jedna postaci \(\displaystyle{ 4k + 1}\), oraz co najmniej jedna postaci \(\displaystyle{ 4m + 3}\).
Twierdzenie 3
Jest tylko jedna parzysta liczba pierwsza: \(\displaystyle{ 2}\).
Każdą licbę parzystą można przedstawić za pomocą dwóch zbiorów liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ 04:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 3}\);
\(\displaystyle{ 06:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 3}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 3}\) do \(\displaystyle{ 5}\);
\(\displaystyle{ 08:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 4}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 4}\) do \(\displaystyle{ 7}\);
\(\displaystyle{ 10:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 5}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 5}\) do \(\displaystyle{ 9}\);
\(\displaystyle{ 12:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 6}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 6}\) do \(\displaystyle{ 11}\);
\(\displaystyle{ 14:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 7}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 7}\) do \(\displaystyle{ 13}\);
\(\displaystyle{ 16:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 8}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 8}\) do \(\displaystyle{ 15}\);
\(\displaystyle{ 18:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 9}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 9}\) do \(\displaystyle{ 17}\);
\(\displaystyle{ 20:}\) liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 10}\) oraz liczby od \(\displaystyle{ 10}\) do \(\displaystyle{ 19}\);
i tak dalej.
Liczby pierwsze można ustalić np. za pomocą sita Eratostenesa zaznaczając ostanie liczby z drugiego przedziału. Na przykład ostatnią liczbą dla \(\displaystyle{ 4}\) jest \(\displaystyle{ 3}\), więc zaznaczamy co trzecią liczbę: \(\displaystyle{ 9}\) (dla \(\displaystyle{ 10}\)), \(\displaystyle{ 15}\) (dla \(\displaystyle{ 16}\)), \(\displaystyle{ 21}\) (dla \(\displaystyle{ 22}\)), \(\displaystyle{ 27}\) (dla \(\displaystyle{ 28}\)), itd., pierwszą nieskreśloną liczbą jest \(\displaystyle{ 5}\) (dla \(\displaystyle{ 6}\)) więc zaznaczamy co \(\displaystyle{ 5}\) liczbę: \(\displaystyle{ 15}\) (dla \(\displaystyle{ 16}\)), \(\displaystyle{ 25}\) (dla \(\displaystyle{ 26}\)), \(\displaystyle{ 35}\) (dla \(\displaystyle{ 36}\)) itd.
Przykład:
Weźmy na przykład liczbę 16. Zakładamy że nie wiemy które liczby są liczbami pierwszymi. Dla tej liczby możemy utworzyć takie zbiory liczbowe:
dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 2}\) zgodnie z tw. 1 i 3 liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą pierwszą
dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 4}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 2}\) a \(\displaystyle{ 4}\) jest tylko jedna liczba nieparzysta będąca liczba pierwszą \(\displaystyle{ 3}\) (tw.1 i 3);
dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 6}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 3}\) a \(\displaystyle{ 6}\) jest tylko jedna liczba nieparzysta będąca liczba pierwszą \(\displaystyle{ 5}\) (tw.1 i 3);
dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 8}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 4}\) a \(\displaystyle{ 8}\) są dwie liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 5, 7}\);
dla \(\displaystyle{ n=5}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 10}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 5}\) a \(\displaystyle{ 10}\) są dwie liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 7, 9}\);
dla \(\displaystyle{ n=6}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 12}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 6}\) a \(\displaystyle{ 12}\) są trzy liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 7, 9, 11}\);
dla \(\displaystyle{ n=7}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 14}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 7}\) a \(\displaystyle{ 14}\) są trzy liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 9, 11, 13}\);
dla \(\displaystyle{ n=8}\) mamy \(\displaystyle{ 2n = 16}\) - pomiędzy \(\displaystyle{ 8}\) a \(\displaystyle{ 16}\) są cztery liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 9, 11, 13, 15}\);
Zgodnie z powyżej przytoczonymi twierdzeniami w każdym przedziale jest co najmniej jedna lub dwie liczby pierwsze (dla \(\displaystyle{ n > 6}\)). Dla \(\displaystyle{ n=7}\) mamy trzy liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 9, 11, 13}\) zgodnie z twierdzeniem 2 jest tylko jedna liczba postaci \(\displaystyle{ 4m + 3}\) tak więc \(\displaystyle{ 11}\) jest liczbą pierwszą.
Można to też przedstawić graficznie: (zielona pionowa linia oznacza środek przedziału od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 15}\), zielone punkty oznaczają znane liczby pierwsze)
Na początku wspomniałem że liczbę \(\displaystyle{ 16}\) można przedstawić za pomocą liczb od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 8}\) oraz liczb od \(\displaystyle{ 8}\) do \(\displaystyle{ 15}\).
Wiemy, że w pierwszym zbiorze są takie liczby pierwsze \(\displaystyle{ \{2, 3, 5\}}\) a w drugim zbiorze liczbą pierwszą jest na pewno \(\displaystyle{ 11}\). Liczba \(\displaystyle{ 11}\) jest oddalona od środka przedziału \(\displaystyle{ 8}\) o trzy (\(\displaystyle{ 8+3=11}\)) więc z pierwszej grupy odpowiada jej liczba \(\displaystyle{ 8-3=5}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 5}\) jest liczbą pierwszą więc liczba \(\displaystyle{ 16}\) jest sumą liczb pierwszych \(\displaystyle{ 5, 11}\).
Jest to mocno okrojona wersja by pokazać w zarysie mniej wiecej o co chodzi. Jeśli to uogólnić dla dowolnej parzystej liczby naturalnej i pokazując, że przynajmniej dla jednego z czterech wariantów coś takiego zachodzi czy mogło to być dowodem hipotezy Goldbacha?