Funkcja z symbolem nieoznaczonym

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Funkcja z symbolem nieoznaczonym

Post autor: Kaktusiewicz » 5 wrz 2007, o 17:27

Witam!
\(\displaystyle{ \left[0^0\right]}\) jest symbolem nieoznaczonym. Natomiast wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^x}\) w punkcie 0 wynosi 1. Można ją obliczyć z reguły del'Hospitala. Dlaczego wartość istnieje? Czy nie trzeba by najpierw wyrzucić 0 z dziedziny tej funkcji, tylko właściwie po co, jeśli wartość w tym puncie istnieje?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Funkcja z symbolem nieoznaczonym

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 18:23

Ta granica (a nie wartość, bo wyrażenie \(\displaystyle{ 0^{0}}\) nie ma sensu liczbowego) istnieje tylko z prawej strony.
Ogólnie jeśli chodzi o granice z wyrażeń wykładniczo-potęgowych, w których podstawa i wykładnik dążą do zera, to mogą one przyjmować różne wartości lub w ogóle nie istnieć.
Kilka przykładów dla porównania:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}, \ \lim_{x \to 0}\left(e^{-1/|x|}\right)^{\ln (1 + |x|)}, \ \lim_{x\to -\infty} ft(e^{x}\right)^{\frac{\sin x}{-x}}}\)

ODPOWIEDZ