Strona 1 z 1
Całka nieoznaczona
: 26 cze 2016, o 12:56
autor: MrMichael123
Oblicz:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{\sin x \sqrt{1+\cos x} }}\)
Próbuje podstawienia \(\displaystyle{ t=\sin x}\) i otrzymałem
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{t't\sqrt{1+t'}}}\)
Nie wiem czy to dobry krok, tak czy inaczej nie mam pojęcia co zrobić z tym zarówno przed jak i po przekształceniu. Wolfram pokazuje bardzo dziwny wynik, nie wiem jak do niego dojść, proszę o instrukcję krok po kroku. Dzięki
Całka nieoznaczona
: 26 cze 2016, o 13:15
autor: squared
Skorzystaj z podstawienia uniwersalnego:
\(\displaystyle{ t=\tg\frac{x}{2} \leftrightarrow x=2\arctg t \ \ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \ \ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}}\)
Całka nieoznaczona
: 26 cze 2016, o 13:27
autor: Premislav
Alternatywny sposób:
zauważmy, że \(\displaystyle{ 1+\cos x=2\cos^2\left( \frac x 2\right)}\)
oraz \(\displaystyle{ \sin x=2\sin\left( \frac{x}{2} \right)\cos\left( \frac{x}{2} \right)}\)
Otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{4} \int_{}^{} \frac{dx}{\sin\left( \frac x 2\right) \cos^2\left( \frac x 2\right) }= -\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{}^{} \frac{- \frac{1}{2}\sin\left( \frac x 2\right) }{\cos^2\left( \frac x 2\right)\left( 1-\cos^2\left( \frac x 2\right)\right) } \mbox{d}x}\)
i podstawienie \(\displaystyle{ t=\cos \frac{x}{2}}\).
Niemniej jednak podstawienie uniwersalne ma szerszy zakres stosowalności...
Całka nieoznaczona
: 26 cze 2016, o 16:04
autor: Mariusz M
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{\sin x \sqrt{1+\cos x} }\\
=\int{\frac{\sin{x}}{\sin^{2}{x} \sqrt{1+\cos{x}} } \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{\sin{x}}{\left( 1-\cos^{2}{x}\right)\sqrt{1+\cos{x}} }}\\
t= \sqrt{1+\cos{x}} \\
t^2=1+\cos{x}
2t \mbox{d}t=-\sin{x} \mbox{d}x \\
-2t \mbox{d}t=\sin{x} \mbox{d}x\\
t^2-1=\cos{x}\\
1-\left( t^2-1\right)^2=1-\cos^2{x}\\
1-\left( t^4-2t^2+1\right)= 1-\cos^2{x}\\
2t^2-t^4=1-\cos^2{x}\\
\int{\frac{1}{t^2\left( 2-t^2\right) } \cdot \frac{1}{t} \cdot \left( -2t \mbox{d}t\right) }\\
=-2\int{\frac{ \mbox{d}t}{t^2\left( 2-t^2\right)}} \\
=-\int{ \frac{t^2+\left( 2-t^2\right) }{t^2\left( 2-t^2\right)} } \mbox{d}t\\
=-\int{ \frac{ \mbox{d}t}{2-t^2} }-\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t^2} }\\
=-\frac{1}{ 2\sqrt{2} }\int{\frac{\left( \sqrt{2}+t \right)+\left( \sqrt{2}-t \right) }{2-t^2} \mbox{d}t}+\frac{1}{t}\\
=-\frac{1}{ 2\sqrt{2} }\left( \int{ \frac{ \mbox{d}t}{ \sqrt{2}-t } }+\int{ \frac{ \mbox{d}t}{ \sqrt{2}+t } }\right) +\frac{1}{t}\\
=-\frac{ \sqrt{2} }{4}\ln{\left| \frac{ \sqrt{2}+t }{\sqrt{2}-t} \right| }+\frac{1}{t}+C\\
=-\frac{ \sqrt{2} }{4}\ln{\left| \frac{ \sqrt{2}+\sqrt{1+\cos{x}} }{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos{x}}}\right| }+\frac{1}{\sqrt{1+\cos{x}}}+C\\}\)