Równania z różniczkami

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Mrrudzin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 20 wrz 2006, o 10:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pruszcz Gdański
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5 razy

Równania z różniczkami

Post autor: Mrrudzin » 5 wrz 2007, o 16:43

Mam problem z rozwiązaniem równań różniczkowych (daaawno temu miałem z tym do czynienia)
1) \(\displaystyle{ (x^{2}+1)y' - 2x\cdot tg(y) = 0}\)
2) \(\displaystyle{ y'' - 4y' + 3y = 2e^{2x}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
abrasax
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 844
Rejestracja: 20 maja 2005, o 13:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 161 razy

Równania z różniczkami

Post autor: abrasax » 9 wrz 2007, o 13:08

2. \(\displaystyle{ y''-4y'+3y=2e^{2x}}\)
najpierw równanie jednorodne \(\displaystyle{ y''-4y'+3y=0}\)
równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ \alpha^2-4\alpha+3=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha_1=1}\)
\(\displaystyle{ \alpha_2=3}\)
rozwiązania:
\(\displaystyle{ y_1=e^{\alpha_1 x}=e^x}\)
\(\displaystyle{ y_2=e^{\alpha_2 x}=e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ y=C_1e^x+C_2e^{3x}}\)
równanie niejednorodne - metoda uzmienniania stałych
rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}C_1' y_1+C_2' y_2=0\\C_1' y_1'+C_2' y_2'=2e^{2x}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}C_1' e^x+C_2' e^{3x}=0\\C_1' e^x+C_2' 3e^{3x}=2e^{2x}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ W_{C_1}=\left|\begin{array}{cc}0&e^{3x}\\2e^{2x}&3e^{3x}\end{array}\right|=-2e^{5x}}\)
\(\displaystyle{ W_{C_2}=\left|\begin{array}{cc}e^x&0\\e^x&2e^{2x}\end{array}\right|=2e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{cc}e^x&e^{3x}\\e^x&3e^{3x}\end{array}\right|=2e^{4x}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ C_1=\int \frac{-2e^{5x}}{2e^{4x}}dx=-e^x+C_3}\)
\(\displaystyle{ C_1=\int \frac{2e^{3x}}{2e^{4x}}dx= - e^{-x}+C_4}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ y=(-e^x+C_3)e^{x}+(- e^{-x}+C_4)e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ y=-2e^{2x}+C_3e^x+C_4e^{3x}}\)

Mrrudzin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 20 wrz 2006, o 10:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pruszcz Gdański
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5 razy

Równania z różniczkami

Post autor: Mrrudzin » 16 wrz 2007, o 08:01

Dziękuje za pomoc

ODPOWIEDZ