Matematyka.pl

Przeprowadzono serię \(\displaystyle{ 100}\) doświadczeń według schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w każdym doświadczeniu równym \(\displaystyle{ p}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwie próby zakończyły się sukcesem.
Będę wdzięczny za wyjaśnienie dlaczego jest to błędne rozumowanie:
\(\displaystyle{ A_{1} \cap A_{2} \cup ( A_{3} \cup ... \cup A_{100} )}\)
\(\displaystyle{ P(A_{1}) \cdot P(A_{2}) + (P(A_{3}) \cup ... \cup P(A_{100})) - P(A_{1}) \cdot P(A_{2}) \cdot ( P(A_{3}) \cup ... \cup P(A_{100}) )}\)
Prawdopodobieństwo, które otrzymamy wymnażamy jeszcze przez \(\displaystyle{ {100 \choose 2}}\)
Ostateczny wynik \(\displaystyle{ {100 \choose 2} \cdot ( p^{2}+(1-(1-p) ^{98} )-p ^{2} \cdot (1+(1-p) ^{98}))}\)

Wiem, miałem poprawny wynik. Jednak chciałem się dowiedzieć dlaczego złe jest moje rozwiązanie, gdzie popełniłem błąd w rozumowaniu. Oczywiście i tak jestem wdzięczny za pomoc.

\(\displaystyle{ Pr(A_{1} \cap A_{2} \cup ( A_{3} \cup ... \cup A_{100} )}\)

to nie jest prawdopodobieństwo zdarzenia " przynajmniej dwie próby zakończyły się sukcesem".

Powinno być

\(\displaystyle{ Pr(A_{2} \cup A_{3} \cup ... \cup A_{100}) = 1 - Pr( A_{0})- Pr(A_{1}),}\)

ponieważ

\(\displaystyle{ Pr\left( \bigcup_{n=0}^{100}A_{n}\right) =1.}\)