Matematyka.pl

Jak opisać strukturę algebraiczną zbioru funkcji mierzalnych?

Jaka jest suma funkcji mierzalnych? Podobne pytanie o iloczyn. Czy funkcje stałe są mierzalne (pytanie o mierzalność funkcji przeciwnej, a co za tym idzie, różnicy funkcji mierzalnych).

Przemyśl sobie, o jaką tu strukturę algebraiczną może chodzić. Grupa, pierścień, ciało, półgrupa itp. (są jeszcze i inne struktury).

Każda funkcja stała jest mierzalna, tak samo przeciwna do danej funkcji mierzalnej jest mierzalna, suma, różnica i iloczyn funkcji mierzalnych jest mierzalny. Stąd mam, że dodawanie i mnożenie funkcji mierzalnych są działaniami wewnętrznymi, element neutralny w dodawaniu to funkcja stała tożsamościowo równa zeru, a w mnożeniu tożsamościowo równa jeden. W dodawaniu inwers to funkcja przeciwna do danej, w mnożeniu nie ma takiej funkcji mierzalnej. Czy wobec tego jest to grupa przemienna z dodawaniem i półgrupa z mnożeniem i stąd pierścień przemienny z jedynką? Czy w ogóle moje wnioskowanie idzie w dobrym kierunku?

Tak - mniej więcej o to chodzi. Na ciało to nie pasuje, bo są tu elementy nieodwracalne.

Zbadaj jeszcze czy funkcje mierzalne nie tworzą przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \RR}\). A także zbadaj czy nie tworzą algebry.

Jest przestrzenią liniową i algebrą. Czy tak samo można postępować badając strukturę algebraiczną np. zbioru funkcji całkowalnych na zbiorze względem miary?

W teorii całki wyróżnia się również kraty - przestrzenie liniowe zamknięte na branie minimów oraz maksimów dwu funkcji. Możesz sprawdzić, czy kratą są przestrzenie wszystkich funkcji mierzalnych i dalej, całkowalnych.