tabliczka dodawania i mnożenia w ciele Z3

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

tabliczka dodawania i mnożenia w ciele Z3

Post autor: josef871 » 5 wrz 2007, o 16:22

wyzanczyć tabliczki dodawania i mnożenia dla ciała będącego rozszerzeniem \(\displaystyle{ \mathBB{Z}_{3}}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2} + x + 2}\)

Proszę o pokazanie tylko kilku przykładów w jaki sposób wyznaczać kolejne elementy tabliczki. Jakiś wzór czy cóś, szukałem w kilku miejscach ale konkretów nie znalazłem

[ Dodano: 6 Września 2007, 13:47 ]
[edit]
widze że zadanie stanowi ogólnie problem. Naprawdę nikt się z takim nie spotkał?:(
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

tabliczka dodawania i mnożenia w ciele Z3

Post autor: Sir George » 12 wrz 2007, o 15:05

Hmm... gdzie tu trudność?
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \epsilon}\) jedno z rozwiązań r-nia \(\displaystyle{ x^2+x+2=0}\) (które to r-nie oczywiście nie ma rozwiązań w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3=\big(\{0,1,2\},+,\cdot\big)}\) ...). Drugie rozwiązanie to oczywiście \(\displaystyle{ -1-\epsilon=2+2\epsilon}\). Z równości \(\displaystyle{ \epsilon\cdot(-1-\epsilon)=2}\) dostajemy \(\displaystyle{ \epsilon^2=1+2\epsilon}\).
... i już mamy wszystkie informacje potrzebne do tabelki...

\(\displaystyle{ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|}+ & 0 & 1 & 2 & \epsilon & 1+\epsilon & 2+\epsilon& 2\epsilon & 1+2\epsilon & 2+2\epsilon \cr \hline \hline 0 & 0 & 1 & 2 & \epsilon & 1+\epsilon & 2+\epsilon& 2\epsilon & 1+2\epsilon & 2+2\epsilon\cr \hline 1 & 1 & 2 & 0 & 1+\epsilon & 2+\epsilon & \epsilon& 1+2\epsilon & 2+2\epsilon & 2\epsilon\cr \hline 2 & 2 & 0 & 1 & 2+\epsilon & \epsilon & 1+\epsilon& 2+2\epsilon & 2\epsilon & 1+2\epsilon\cr \hline \epsilon & \epsilon & 1+\epsilon & 2+\epsilon& 2\epsilon & 1+2\epsilon & 2+2\epsilon & 0 & 1 & 2 \cr \hline 1+\epsilon & 1+\epsilon & 2+\epsilon & \epsilon& 1+2\epsilon & 2+2\epsilon & 2\epsilon & 1 & 2 & 0 \cr \hline 2+\epsilon & 2+\epsilon & \epsilon & 1+\epsilon& 2+2\epsilon & 2\epsilon & 1+2\epsilon & 2 & 0 & 1 \cr \hline 2\epsilon & 2\epsilon & 1+2\epsilon & 2+2\epsilon & 0 & 1 & 2 & \epsilon & 1+\epsilon & 2+\epsilon \cr \hline 1+2\epsilon & 1+2\epsilon & 2+2\epsilon & 2\epsilon & 1 & 2 & 0 & 1+\epsilon & 2+\epsilon & \epsilon \cr \hline 2+2\epsilon & 2+2\epsilon & 2\epsilon & 1+2\epsilon & 2 & 0 & 1 & 2+\epsilon & \epsilon & 1+\epsilon \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|}\times & 1 & 2 & \epsilon & 1+\epsilon & 2+\epsilon& 2\epsilon & 1+2\epsilon & 2+2\epsilon \cr \hline \hline 1 & 1 & 2 & \epsilon & 1+\epsilon & 2+\epsilon& 2\epsilon & 1+2\epsilon & 2+2\epsilon \cr \hline 2 & 2 & 1 & 2\epsilon & 2+2\epsilon & 1+2\epsilon& \epsilon & 2+\epsilon & 1+\epsilon \cr \hline \epsilon & \epsilon & 2\epsilon & 1+2\epsilon & 1 & 1+\epsilon& 2+\epsilon & 2+2\epsilon & 2 \cr \hline 1+\epsilon & 1+\epsilon & 2+2\epsilon & 1 & 2+\epsilon & 2\epsilon& 2 & \epsilon & 1+2\epsilon \cr \hline 2+\epsilon & 2+\epsilon & 1+2\epsilon & 1+\epsilon & 2\epsilon & 2 & 2+2\epsilon & 1 & \epsilon \cr \hline 2\epsilon & 2\epsilon & \epsilon & 2+\epsilon & 2 & 2+2\epsilon& 1+2\epsilon & 1+\epsilon & 1 \cr \hline 1+2\epsilon & 1+2\epsilon & 2+\epsilon & 2+2\epsilon & \epsilon & 1 & 1+\epsilon & 2 & 2\epsilon \cr \hline 2+2\epsilon & 2+2\epsilon & 1+\epsilon & 2 & 1+2\epsilon & \epsilon& 1 & 2\epsilon & 2+\epsilon \end{array}}\)

[ Dodano: 13 Września 2007, 10:24 ]
Uff, po zaliczeniach poprawkowych jak zwykle mam mętlik w głowie...

Najprościej to liczy się tak:
1. Wielomian jest stopnia drugiego, więc rozszerzenie jest stopnia co najwyżej 2;
2. \(\displaystyle{ \epsilon}\) bierzemy jak wyżej;
3. \(\displaystyle{ \epsilon}\) spełnia r-nie, zatem \(\displaystyle{ \epsilon^2=-\epsilon-2=1+2\epsilon}\)
4. nie pozostaje już nic, tylko dodawać i mnożyć...




BTW, ciało \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3}\) można też utożsamiać jako zbiór \(\displaystyle{ \{0,1,-1\}}\) ze standardowymi działaniami... łatwiej wtedy się mnoży...

josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

tabliczka dodawania i mnożenia w ciele Z3

Post autor: josef871 » 15 wrz 2007, o 15:02

wielkie dzięki wreszcie mam na to jakieś spojrzenie

smiejanka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 24 sty 2017, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1 raz

tabliczka dodawania i mnożenia w ciele Z3

Post autor: smiejanka » 24 sty 2017, o 17:04

Wiem, że to dawno temu było ale może ktoś mógłby mi pomóc. Jaka jest multyplikatywna grupa tego właśnie ciała?

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4142
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 414 razy

tabliczka dodawania i mnożenia w ciele Z3

Post autor: arek1357 » 25 sty 2017, o 02:07

Chyba żartujesz

smiejanka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 24 sty 2017, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1 raz

tabliczka dodawania i mnożenia w ciele Z3

Post autor: smiejanka » 26 sty 2017, o 01:23

A to jest jakiś powód do żartów?
Nie ma głupich pytań. Są tylko głupie odpowiedzi.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4142
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 414 razy

tabliczka dodawania i mnożenia w ciele Z3

Post autor: arek1357 » 26 sty 2017, o 01:36

jaka jest multyplikatywna grupa tego właśnie ciała?
jest w końcu wypisana tabelka tej grupy i skoro jest kawa na ława to takie pytanie uznałem za żart


To zdanie powiedział ten co zadaje pytanie.
Nie ma głupich pytań. Są tylko głupie odpowiedzi.
A to zdanie powiedział ten kto udziela odpowiedzi.
Nie ma głupich odpowiedzi. Są tylko głupie pytania.

A teraz mój cytat:
Są głupie pytanie i głupie odpowiedzi , jest też i odwrotnie.

ODPOWIEDZ