Matematyka.pl

Witam,
mam kilka problemów związanych z rozwiązaniem zadań z prawdopodobieństwa:

1) Zawór posiada funkcję gęstości \(\displaystyle{ f(t)=0,0001e ^{-0,0001t}}\). Jakie jest prawdopodobieństwo awarii w 2 roku pracy?

Wydaję mi się, że trzeba tak zrobić (a może trzeba z całki liczyć?):

\(\displaystyle{ 2lata = 17520h}\)

\(\displaystyle{ f(t)=0,0001e ^{-0,0001t}}\)

\(\displaystyle{ f(t)=0,0001e ^{-0,0001 \cdot 17520}}\)

\(\displaystyle{ f(t)=0,000017343}\)

\(\displaystyle{ P(17520)=1-0,000017343}\)

\(\displaystyle{ P(17520) \approx 0,99998}\)

2) Zawór posiada funkcję gęstości . Jakie jest prawdopodobieństwo awarii po 3 roku pracy?

\(\displaystyle{ 3lata = 26280h}\)

korzystam ze wzoru: \(\displaystyle{ \int_{}^{} e ^{at}dt= \frac{1}{a}e ^{at}}\)

\(\displaystyle{ P(26280)=\int_{3}^{+ \infty }0,0001e ^{-0,0001t}dt = 0,0001\int_{3}^{+\infty }e ^{-0,0001t}dt = 0,0001[ \frac{1}{-0,0001}e ^{-0,0001 \cdot \infty } - (\frac{1}{-0,0001}e ^{-0,0001 \cdot 26280}) ]= \infty}\)

Tu wychodzi mi coś głupiego, więc pomyślałem aby może policzyć całkę do 3 roku i wynik odjąć od 1. Tylko nie wiem czy tak można i czy jest to dobrze

\(\displaystyle{ P(26280)=\int_{0}^{3}0,0001e ^{-0,0001t}dt = 0,0001\int_{0}^{3}e ^{-0,0001t}dt = 0,0001[ \frac{1}{-0,0001}e ^{-0,0001 \cdot 26280 } - (\frac{1}{-0,0001}e ^{-0,0001 \cdot 0}) ]= 0,92778}\)

\(\displaystyle{ P(26280)=1-0,92778}\)

\(\displaystyle{ P(26280)=0,07222 \approx 7,2 \%}\)

PS:
Problem w takich zadaniach mam jak trzeba policzyć "do, w, po" roku, a w przypadku gdyby było policzyć prawdopodobieństwo np. między 1, a 2 rokiem uważam, że nie stanowiłoby dla mnie problemu.

Jeżeli liczysz prawdopodobieństwo bezpośrednio (podstawianie do wzoru funkcji) to korzystasz z dystrybuanty. A ją można wyrazić poprzez gęstości (co pokazane poniżej). Mylisz kompletnie te dwa pojęcia i ich zastosowanie.

Jak rozumiem \(\displaystyle{ t}\) oznacza czas w godzinach?

Jeśli podana funkcja gęstości dotyczy rozkładu czasu po którym nastąpi awaria (ozn. \(\displaystyle{ \xi}\)) w godzinach to w pierwszy moim zdaniem tak:

\(\displaystyle{ F(x)=P\{\xi<x\}=\int\limits_{-\infty}^{x}f(y) \mbox{d}y}\) - def. dystrybuanty

Więc u Ciebie szukamy
\(\displaystyle{ P\{ 8760<\xi \le 17520\}=F(17520)-F(8760) = \int\limits_{8760}^{17520}0,0001e ^{-0,0001t}dt=0.243019 \approx 24\%}\)

Co do drugiego to szukamy:
\(\displaystyle{ P\{\xi > 35040\}=1-P\{ \xi \leq 35040\}=1-F(35040)=1-\int\limits_{-\infty}^{35040}0,0001e ^{-0,0001t}dt=0.0300768 \approx 3\%}\)
(po trzecim roku, znaczy od czwartego w zwyż)