Matematyka.pl

1. Przekształcając jedną ze stron, wykaż ze zachodzi równość (dla tych wszystkich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), dla których wyrażenia mają sens liczbowy) \(\displaystyle{ \frac{a(a+3b)^{2}- a( a^{2}+ 11b^{2}) }{12ab^{2}- 4b^{3} }= \frac{a}{2b}}\)

2. Wykaż, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są różne od \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq b, b \neq c, c \neq a}\), to
\(\displaystyle{ \frac{1}{a(a-b)(a-c)}+ \frac{1}{b(b-a)(b-c)}+ \frac{1}{c(c-a)(c-b)}= \frac{1}{abc}.}\)

3. Dane jest równanie \(\displaystyle{ \frac{ x^{2}+1 }{a ^{2}x-2a }- \frac{1}{2-ax}= \frac{x}{a}}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\). Zbadaj dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) równanie
a) ma dwa różne pierwiastki
b) ma jeden pierwiastek


Proszę o rozwiązanie tych zadań Z góry dziękuje

No way. Pokaż jak rozwiązujesz, jak napotkasz trudny moment, to pomożemy.

2. Rozpatrzmy wielomian
\(\displaystyle{ W(a)=(a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)}\)
przy ustalonych \(\displaystyle{ b,c}\) (\(\displaystyle{ b \neq c}\)). Jest to funkcja wielomianowa zmiennej \(\displaystyle{ a}\) drugiego stopnia,
która ma co najmniej trzy miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ a_1=b, a_2=c, a_3=0}\)
Zatem jest ona tożsamościowo równa zeru. Przy założeniu (powinienem je napisać na początku, bo inaczej uwaga o co najmniej trzech pierwiastkach nie działa ) \(\displaystyle{ a\neq b \wedge a \neq c \wedge abc \neq 0}\) wywnioskuj stąd na drodze przekształceń algebraicznych tezę zadania.

-- 23 cze 2016, o 20:19 --

Mam nadzieję, że nie dostanę w mordę za to utożsamienie wielomianu z funkcją wielomianową; raczej wiadomo, o co mi chodzi.-- 23 cze 2016, o 20:25 --Czyli na początku powinienem założyć, że \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) to różne stałe i żadna z nich nie jest zerem. Bo bez tego założenia to słabo: np. pierwiastki \(\displaystyle{ 0,0,1}\) to nie są trzy różne pierwiastki...

a4karo pisze:No way. Pokaż jak rozwiązujesz, jak napotkasz trudny moment, to pomożemy.

Nie mam pojęcia jak zabrać się za 2 i 3 zadanie.

Napisałem Ci więcej niż połowę rozwiązania zadania drugiego.
Z tego, co napisałem, wynika, że dla dowolnie ustalonych niezerowych \(\displaystyle{ b \neq c}\)
i dla wszystkich \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistych mamy
\(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)=0}\)

W szczególności jest więc tak, gdy również \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge a \neq b \wedge a \neq c}\).
Zaś dla takich \(\displaystyle{ a}\) możesz wykonać przekształcenia algebraiczne, które doprowadzą Cię do tezy. Przenosisz \(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)}\) na drugą stronę, dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ abc(a-b)(a-c)(b-c)}\) i masz tezę.

-- 23 cze 2016, o 20:56 --

A w zadaniu trzecim najpierw dziedzina, a potem wymnóż stronami przez \(\displaystyle{ a^2x-2a.}\). Dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem, poziom pierwszej klasy szkoły średniej.

Premislav pisze:Napisałem Ci więcej niż połowę rozwiązania zadania drugiego.
Z tego, co napisałem, wynika, że dla dowolnie ustalonych niezerowych \(\displaystyle{ b \neq c}\)
i dla wszystkich \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistych mamy
\(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)-bc(b-c)+ac(a-c)-ab(a-b)=0}\)

W szczególności jest więc tak, gdy również \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge a \neq b \wedge a \neq c}\).
Zaś dla takich \(\displaystyle{ a}\) możesz wykonać przekształcenia algebraiczne, które doprowadzą Cię do tezy. Przenosisz \(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)}\) na drugą stronę, dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ abc(a-b)(a-c)(b-c)}\) i masz tezę.

-- 23 cze 2016, o 20:56 --

A w zadaniu trzecim najpierw dziedzina, a potem wymnóż stronami przez \(\displaystyle{ a^2x-2a.}\). Dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem, poziom pierwszej klasy szkoły średniej.

W pierwszej klasie nie ma równań kwadratowych..

No to znowu bez mojego zezwolenia zmieniono program... Ja miałem w pierwszej, czyli każdy powinien mieć nie później niż w pierwszej. Może tamten komentarz był niepotrzebny, przepraszam za niego, bo mógł zabrzmieć jak próba szyderstwa lub wywyższenia się. Niemniej jednak równanie kwadratowe z parametrem, jakie otrzymasz po skorzystaniu z tego, co napisałem, nie powinno Ci sprawić problemów. Liczysz wyróżnik trójmianu, sprawdzasz dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) jest on dodatni (wtedy są dwa różne rozwiązania), a dla jakich jest zerowy (wtedy jest jedno rozwiązanie, choć jeszcze można to interpretować jako co najmniej jedno, a nie dokładnie jedno - wtedy sprawdzałbyś, kiedy wyróżnik jest nieujemny). Trzeba tylko jeszcze pamiętać o dziedzinie, którą na początku określiłeś.

Premislav pisze:No to znowu bez mojego zezwolenia zmieniono program... Ja miałem w pierwszej, czyli każdy powinien mieć nie później niż w pierwszej. Może tamten komentarz był niepotrzebny, przepraszam za niego, bo mógł zabrzmieć jak próba szyderstwa lub wywyższenia się. Niemniej jednak równanie kwadratowe z parametrem, jakie otrzymasz po skorzystaniu z tego, co napisałem, nie powinno Ci sprawić problemów. Liczysz wyróżnik trójmianu, sprawdzasz dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) jest on dodatni (wtedy są dwa różne rozwiązania), a dla jakich jest zerowy (wtedy jest jedno rozwiązanie, choć jeszcze można to interpretować jako co najmniej jedno, a nie dokładnie jedno - wtedy sprawdzałbyś, kiedy wyróżnik jest nieujemny). Trzeba tylko jeszcze pamiętać o dziedzinie, którą na początku określiłeś.

Ok. A zadanie 1?

Mianownik lewej strony przedstaw w postaci
\(\displaystyle{ 2b(6ab-2b^2)}\)
W liczniku wyłącz przed wszystko \(\displaystyle{ a}\), zaś następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (do tego \(\displaystyle{ (a+3b)^2}\)) i uprość co się da.
Powinieneś dojść do tego, że licznik ma postać \(\displaystyle{ a(6ab-2b^2)}\).

Premislav pisze:Mianownik lewej strony przedstaw w postaci
\(\displaystyle{ 2b(6ab-2b^2)}\)
W liczniku wyłącz przed wszystko \(\displaystyle{ a}\), zaś następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (do tego \(\displaystyle{ (a+3b)^2}\)) i uprość co się da.
Powinieneś dojść do tego, że licznik ma postać \(\displaystyle{ a(6ab-2b^2)}\).

W 3 zadaniu jak rozwiązać \(\displaystyle{ a^{2}x-2a}\) oraz \(\displaystyle{ 2-ax}\) aby ustalić dziedzine w zależności od a?

Po pierwsze zauważ, że \(\displaystyle{ a^2x-2a=-a(2-ax)}\), więc wystarczy, że rozwiążesz równanie
\(\displaystyle{ a^2x-2a=0}\). Z tego wychodzi (bo chcemy, żeby ta równość nie zachodziła - zerowe mianowniki...) \(\displaystyle{ a\neq 0 \wedge x \neq \frac{2}{a}}\).

Pytanie co do pierwszego polecenia - "wykaż ze zachodzi równość (dla tych wszystkich a i b, dla których wyrażenia mają sens liczbowy)", czy to oznacza, że wystarczy samo przejście z lewej strony równania do prawej i nie trzeba pisać dla jakich a i b ma to sens (na tyle na ile da się to ustalić) czy lepiej mimo wszystko to zawrzeć w rozwiązaniu?

Tak. Ale co się stało, że pytasz o to po czterech latach?

Ja myślę, że w trzecim trzeba wszystko na jedną stronę i do wspólnego mianownika. W wyniku tego powinniśmy dostać w liczniku funkcję kwadratową. Jak mamy z jednej strony zero, to po prostu trzeba ustalić dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) ta funkcja ma dwa rozwiązania, ale mogę się mylić.