Granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Nessie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 14 sie 2007, o 21:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Granice

Post autor: Nessie » 5 wrz 2007, o 15:47

Mam problem z dwoma zadaniami.

1. Obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+25}-5}}\)

2. Uzasadnij że przy odpowiednich założeniach (jakich?) zachodzi równość:

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_{0}} tg x = tg x_{0}}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_{0}} ctg x = ctg x_{0}}\)

Mam nadzieję, że ktoś mi tu pomoże.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Granice

Post autor: Anathemed » 5 wrz 2007, o 15:51

Ad1) Wskazówka: skorzystaj osobno dla licznika, osobno dla mianownika ze wzoru:
\(\displaystyle{ a - b = \frac{a^2 - b^2}{a + b}}\)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Granice

Post autor: Calasilyar » 5 wrz 2007, o 15:53

1)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+25}-5}=
\lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+25}+5)(\sqrt{x^2+1}+1)}{(\sqrt{x^2+25}-5)(\sqrt{x^2+25}+5)(\sqrt{x^2+1}+1)}=\\
=\lim_{x\to 0} \frac{((x^2+1)-1)(\sqrt{x^2+25}+5)}{((x^2+25)-5)(\sqrt{x^2+1}+1)}=\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}(\sqrt{x^2+25}+5)}{x^{2}(\sqrt{x^2+1}+1)}=\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+25}+5}{\sqrt{x^2+1}+1}=5}\)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Granice

Post autor: setch » 5 wrz 2007, o 16:22

2. Na podstawie ciągłości funkcji elementarnych.

Nessie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 14 sie 2007, o 21:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Granice

Post autor: Nessie » 5 wrz 2007, o 17:31

setch pisze:2. Na podstawie ciągłości funkcji elementarnych.
ja chyba jestem blondynką bo to mi jednak nic nie mówi , no, ale dzięki za chęci

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granice

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 17:39

Rzeczywiście jest to bezpośredni wniosek z ciągłości odpowiednio funkcji tangens i cotangens. A dodatkowe założenia, to przynależność \(\displaystyle{ x_{0}}\) do dziedziny odpowiedniej z tych funkcji.
(proponuję przypomnieć sobie definicję ciągłości funkcji w punkcie)

ODPOWIEDZ