który ciąg większy?

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
dawido000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 278
Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

który ciąg większy?

Post autor: dawido000 » 5 wrz 2007, o 15:45

Trzy różne liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby a, d, c - ciąg geometryczny. Wyrazy obu ciągów są dodatnie. Suma wyrazów którego ciągu jest większa?













,,,,,,,,,
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

który ciąg większy?

Post autor: Calasilyar » 5 wrz 2007, o 15:48

podpowiedź:
\(\displaystyle{ \frac{a+c}{2}\geqslant \sqrt{ac}}\)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

który ciąg większy?

Post autor: Anathemed » 5 wrz 2007, o 15:49

dawido000 pisze:Trzy różne liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby a, d, c - ciąg geometryczny. Wyrazy obu ciągów są dodatnie. Suma wyrazów którego ciągu jest większa?
Zauważ, że: \(\displaystyle{ b = \frac{a+c}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ d = \sqrt{ac}}\)
Stąd i z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną wynika że b > d.

Oznacza to, że \(\displaystyle{ a + b + c > a + d + c}\)

ODPOWIEDZ