Matematyka.pl

Dość łatwo się uzasadnia fakt, że jeśli liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami pierwszymi i \(\displaystyle{ pq}\) dzieli liczbę całkowitą \(\displaystyle{ a}\), to \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\). Nie bardzo jednak wiem jak uzasadnić twierdzenie odwrotne- to znaczy z tego, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) wynika podzielność liczby \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ pq}\). Próbowałem tak:
Skoro \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\), to istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ a=pk}\). Podobnie mamy \(\displaystyle{ a=ql}\), gdzie \(\displaystyle{ l}\) jest liczbą całkowitą. Mamy więc \(\displaystyle{ pk=ql}\). Z podstawowego twierdzenia arytmetyki wynika zatem, że \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ l}\). A więc istotnie \(\displaystyle{ pq}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\).
Prosiłbym o zweryfikowanie tego rozumowania

Wpadłem na małą innowację: mianowicie skoro \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ a=pk}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą. Ale również \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ q}\) nie dzieli \(\displaystyle{ p}\). Zatem \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ k}\), tym samym \(\displaystyle{ pq}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\), co było do uzasadnienia.

Można jeszcze tak:

Wiemy, że \(\displaystyle{ p|a}\) i \(\displaystyle{ q|a}\). Ponieważ liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są pierwsze, więc \(\displaystyle{ \left( p,q\right) = 1}\). Liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są dzielnikami liczby \(\displaystyle{ a}\), zatem \(\displaystyle{ a = px_{1}}\) i \(\displaystyle{ a = qy_{1}}\) dla pewnych całkowitych liczb \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ y_1}\). A ponieważ \(\displaystyle{ \left( p,q\right) = 1}\), to muszą istnieć takie całkowite liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ 1 = px + qy}\).

\(\displaystyle{ a = apx + aqy = qy_{1}px + px_{1}qy = pq\left( xy_{1} + x_{1}y\right)}\)

Czyli \(\displaystyle{ pq|a}\).

Ciekawe rozwiązanie, o ile zna się twierdzenie, z którego kolega skorzystał
Chodzi mi oczywiście o fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \left( a,b\right)=1}\) to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), takie że \(\displaystyle{ 1=ax+bx}\). Skąd to z kolei wynika?

Wynika to z tożsamości Bézouta: .

Dzięki