Matematyka.pl

\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są w tej samej przestrzeni probabilistycznej. Udowodnij:
\(\displaystyle{ P(A \cap B) \le P(A) \le P(A \cup B)}\)
Czy mój sposób przedstawiony poniżej jest ok?
\(\displaystyle{ P(A \cup B)-P(A)-P(B) \le P(A \cup B)-P(B)-P(A \cap B) \le P(A \cup B)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)-P(A)-P(B) \le P(A \cup B)}\) - to widać.
\(\displaystyle{ P(A \cup B)-P(A)-P(B) \le P(A \cup B)-P(B)-P(A \cap B)}\) - dlatego, że \(\displaystyle{ P(B) \ge P(A \cap B)}\)

na jakiej podstawie twierdzisz, że \(\displaystyle{ P\left(A \cap B\right)\le P\left( A\right)}\) skoro masz to udowodnić?
zakładasz tezę, a tak nie wolno. Chyba że nie rozumiem tego co chciałeś przekazać.
Dowód w jednej linijsce z własności monotoniczności miary, skoro miałeś przestrzeń probabilistyczną to własności miary pewnie też.

\(\displaystyle{ P\left(A \cap B\right) = P(A \cup B)-P(A)-P(B)}\)
\(\displaystyle{ P\left( A\right) = P(A \cup B)-P(B)-P(A \cap B)}\)
Zatem wygląda to tak:
\(\displaystyle{ P(A \cup B)-P(A)-P(B) \le P(A \cup B)-P(B)-P(A \cap B)}\)
Pozostaje nam udowodnić, że \(\displaystyle{ P(B) \ge P(A \cap B)}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) nigdy nie będzie większe od \(\displaystyle{ P(B)}\)
Zatem \(\displaystyle{ P\left(A \cap B\right)\le P\left( A\right)}\). Gdzie zakładam tezę? Z góry dzięki za wskazanie błędu.

\(\displaystyle{ P\left(A \cap B\right) = P(A \cup B)-P(A)-P(B)}\)

Ta rownosc nie jest prawdziwa.

Czy nie zapala Ci sie lampka (ostrzegawcza), kiedy aby udowodnic, ze \(\displaystyle{ P\left(A \cap B\right)\le P\left( A\right)}\), pokazujesz, ze \(\displaystyle{ P\left(A \cap B\right)\le P\left( B\right)}\)?Przeciez to jest to samo, masz jedno to masz i drugie.

dobra, tak jak pisałem jedna linijka
\(\displaystyle{ A \cap B \subset A \subset A \cup B \Rightarrow P\left( A \cap B\right) \le P\left( A\right) \le P\left( A \cup B\right)}\). ta implikacja wynika z monotoniczności miary. podstawowa własność, bankowo była na wykłądzie

Miałem to w ten sposób rozwiązane, ale myślałem, że da się też metodą, którą zacząłem. Jednak tam fatalnie na początku przekształciłem równanie i dlatego tak wyszło. Mimo wszystko oczywiście dzięki za pomoc.