Ekstremum i wartość bezwzgledna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
pawel000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: poznań
Podziękował: 1 raz

Ekstremum i wartość bezwzgledna

Post autor: pawel000 » 5 wrz 2007, o 14:29

Witam
mam problem z obliczeniem ekstremów moje gryzgoły mowia coś innego, odreczny rysunek cos innego
oto ta funkcja :

\(\displaystyle{ y=|1-x^{2}|}\)

prosze o wmiare rozpisanie ponieważ właśnie sie gubię przy połączeniu pochodnej z wartością bezwzględna (ostrza itp)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Ekstremum i wartość bezwzgledna

Post autor: Anathemed » 5 wrz 2007, o 14:50

Przypadek 1) \(\displaystyle{ 1 - x^2 qslant 0}\), czyli \(\displaystyle{ x (-1, 1)}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ y = 1 - x^2}\), skąd \(\displaystyle{ y' = -2x}\), skąd otrzymujemy ekstremum w x = 0 (pamiętajmy, aby sprawdzić czy x należy do przediału (-1,1). Oczywiście \(\displaystyle{ 0 (-1, 1)}\))
Analogicznie dla \(\displaystyle{ 1 - x^2 < 0}\), nie otrzymujemy ekstremów.
Pozostaje jeszcze zbadanie punktów w których nasza funkcja nie posiada pochodnej - są to punkty: x = -1 i x = 1.
Zauważmy że pochodne lewostronne i prawostronne punktu x=1 (takowe istnieją) mają przeciwne znaki. Oznacza to, że x=1 również jest ekstremum. Analogicznie x = -1 jest ekstremum.

Tak więc nasza funkcja posiada ekstrema w punktach: x = -1,0,1

Tak się generalnie postępuje przy funkcjach z ostrzami - gdy funkcja ma ostrze w jakimś punkcie (wtedy nie ma tam pochodnej, przez co nie możemy skorzystać z twierdzenia o zerowaniu się pochodnej w ekstremum), należy tam sprawdzić czy znaki pochodnych lewo i prawostronnej są takie same czy różne.

pawel000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: poznań
Podziękował: 1 raz

Ekstremum i wartość bezwzgledna

Post autor: pawel000 » 5 wrz 2007, o 15:00

racja zapomniałem o 1 -1 , a mogłbym Cie prosić o wypisanie jak zachowuja się w tej granicy ilorazu róźnicowego. Chodzi o to czy -1 podstawiamy pod x i to wstawiamy do definicji pochodnej ? druga wątpliwość to jak wartość bezwzględna "znika" z granicy.

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Ekstremum i wartość bezwzgledna

Post autor: Anathemed » 5 wrz 2007, o 15:19

pawel000 pisze:Chodzi o to czy -1 podstawiamy pod x i to wstawiamy do definicji pochodnej ?
tak
druga wątpliwość to jak wartość bezwzględna "znika" z granicy.
Wartość bezwzględna nie znika przy obliczaniu granicy, jest wręcz "kluczowa"
Najlepiej pokażę na przykładzie jak obliczyć granicę prawostronną dla x = 1:

\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{|1 - (1+h)^2| - |1 - 1^2|}{h} = \frac{|-h^2-2h|}{h} = |h+2|\frac{|h|}{h} = \frac{|h|}{h}}\)
A ten ułamek równy jest -1 dla h dążącego do zera "z dołu" i 1 dla dążącego do góry. Różne znaki - czyli jest ekstremum

pawel000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: poznań
Podziękował: 1 raz

Ekstremum i wartość bezwzgledna

Post autor: pawel000 » 6 wrz 2007, o 12:02

dzieki teraz zrozumiałem ale
co się dzieje dla takiej funkcji: w jaki sposob tutaj to ekstremum pokazac
\(\displaystyle{ y=|e^{x}-1|}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Ekstremum i wartość bezwzgledna

Post autor: soku11 » 6 wrz 2007, o 12:31

\(\displaystyle{ e^x-1=0\ \ \iff\ \ e^x=1\ \ \iff\ \ x=0\\
1)\ x0\\
3)\ x=0\\
f'(0)^- 0\\
f_{min}=f(0)}\)



POZDRO

ODPOWIEDZ