Granica i cos

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
oZiX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 8 lis 2004, o 17:33

Granica i cos

Post autor: oZiX » 5 wrz 2007, o 14:27

pomylilo mi sie troche:) miało być tak;)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}(cos\frac{1}{x})^x}\)

z góry bardzo dziękuje
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2007, o 15:10 przez oZiX, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Granica i cos

Post autor: Anathemed » 5 wrz 2007, o 14:41

oZiX pisze:Witam, prosił bym o pomoc z jedną granicą.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}(\frac{cos1}{x})^x}\)

z góry bardzo dziękuje
Ponieważ x -> ∞, więc możemy założyć, że \(\displaystyle{ x > |2cos1|}\)
Wtedy mamy: \(\displaystyle{ - (\frac{1}{2})^x < (\frac{cos1}{x})^x < (\frac{1}{2})^x}\)
A ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}-(\frac{1}{2})^x = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}(\frac{1}{2})^x = 0}\),
Więc z twierdzenia trzech ciągów dostajemy, że szukana granica wynosi 0

oZiX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 8 lis 2004, o 17:33

Granica i cos

Post autor: oZiX » 6 wrz 2007, o 15:11

wyniknal maly blad przepraszam;/ źle przepisałem zadanie i teraz jest dobrze

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Granica i cos

Post autor: setch » 6 wrz 2007, o 16:28

\(\displaystyle{ f(x)=(\cos\frac{1}{x})^x\\
\ln f(x)=x \ln \cos \frac{1}{x}\\
A=\lim_{x \to } \ln f(x)= \lim_{x \to } x \ln \cos \frac{1}{x}=
\lim_{x \to } \frac{\ln \cos \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\stackrel{H}{=} \lim_{x \to } \frac{\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x} \frac{1}{\cos \frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to } -\frac{\sin \frac{1}{x}}{\cos \frac{1}{x}} = \lim_{x \to } - \tan \frac{1}{x}=0\\
\lim_{x \to } f(x)=e^A=e^0=1}\)
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2007, o 17:19 przez setch, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica i cos

Post autor: max » 6 wrz 2007, o 17:17

\(\displaystyle{ \ln f(x) = x\ln \cos \frac{1}{x}}\)
...

ODPOWIEDZ