Rozwiń w szereg Maclaurina

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

Rozwiń w szereg Maclaurina

Post autor: sandarak19 » 5 wrz 2007, o 12:37

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+6}}\) Ma ktoś może pomysł jak to rozwinąć?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Rozwiń w szereg Maclaurina

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 12:49

Rozłóż na ułamki proste.

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Rozwiń w szereg Maclaurina

Post autor: Anathemed » 5 wrz 2007, o 13:02

sandarak19 pisze:\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x-5}{x^{2}-5x+6}}\) Ma ktoś może pomysł jak to rozwinąć?
Rozbijamy na ułamki proste:
Zauważ że \(\displaystyle{ \frac{2x-5}{x^{2}-5x+6} = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3}}\)
Teraz korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-2} = -\frac{1}{2}*\frac{1}{1-\frac{x}{2}} = - \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2}*(\frac{x}{2})^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-3} = -\frac{1}{3}*\frac{1}{1-\frac{x}{3}} = - \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3}*(\frac{x}{3})^n}\)

Teraz wystarczy to dodać, delikatnie przekształcić i mamy nasz szereg.

sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

Rozwiń w szereg Maclaurina

Post autor: sandarak19 » 5 wrz 2007, o 14:59

Możesz zapisać końcowy wynik?

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Rozwiń w szereg Maclaurina

Post autor: Anathemed » 5 wrz 2007, o 15:24

sandarak19 pisze:Możesz zapisać końcowy wynik?
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty } -(\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}})x^n}\)

ODPOWIEDZ