Matematyka.pl

Zakład produkuje zamki błyskawiczne, z których \(\displaystyle{ 80\%}\) jest I-go gatunku. Ile zamków należy wyprodukować, aby z prawdopodobieństwem co najmniej \(\displaystyle{ 0,98}\) otrzymać \(\displaystyle{ 300}\) zamków I-go gatunku?

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ X_{n}= \begin{cases} 1 - I \\ 0 - inny \end{cases} \\
S_{n} = \sum_{k=1}^{n}X_{k} \\
P \left[ S_{n} \ge 300 \right] \ge 0,98}\)

\(\displaystyle{ \frac{S_{n}-np}{ \sqrt{npq} } \Rightarrow X\sim N \left( 0,1 \right)}\)

\(\displaystyle{ P \left[ S_{n} \ge 100 \right] = P \left[ \frac{S_{n}-np}{ \sqrt{npq} } \right] \ge \frac{100-np}{ \sqrt{npq} } = 1-P \left[ \frac{S_{n}-np}{ \sqrt{npq} } \right] \ge \frac{100-np}{ \sqrt{npq} } = 1 - \phi \left( {\frac{100-np}{ \sqrt{npq} } \right)}\)

\(\displaystyle{ 1 - \phi \left( {\frac{100-np}{ \sqrt{npq} } \right) \ge 0,98}\)
\(\displaystyle{ \phi \left( {\frac{100-np}{ \sqrt{npq} } \right) \le 0,02}\)

I teraz mam odczytać z tablicy (), że \(\displaystyle{ \phi \left( z \right) \le 0,02}\) dla \(\displaystyle{ z \approx ??}\)

Czy do tej pory dobrze zrobiłem zadanie? W jaki sposób odczytać wartość z tablicy dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\)?

p i q znaqsz,odpoweidnio 0,8 i 0,2, a tej jedynki nie przenoś na drugą stronę nierówności, tylko wciągnij pod
\(\displaystyle{ \phi}\) , zgodnie z wzroem \(\displaystyle{ 1-\phi\left(x\right)=\phi\left(-x)}\).
teraz w tablicy szukasz argumenty \(\displaystyle{ \phi}\) dla którego przyjmuje 0,98.
wiec dostaniesz \(\displaystyle{ \phi\left(-z\right)\le\phi\lest(2,32\right))}\).
A funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) jest niemalejąca, wiec nierówność się zachowa przechodząc na argumenty, tak więc dostaniesz \(\displaystyle{ -z\le2,32}\) no i teraz wyznaczasz sobie to n, a to już proste.
Oczywiscie to \(\displaystyle{ z={\frac{100-np}{ \sqrt{npq} } \right}\)

Na wykładzie mieliśmy podobne zadanie, tylko zamiast 300 było 100, zamiast 0,8 było 0,85 (zamiast 0,2 było 0,15) i zamiast 0,98 było 0,99. Liczyliśmy to tak jak wyżej policzyłem i na końcu wyszło:

\(\displaystyle{ \phi(z) \le 0,01}\) dla \(\displaystyle{ z \approx -2,33}\)

Nie wiem za bardzo skąd się wzięło to -2,33 i tak samo w tym zadaniu -2,32. Zapewne to trzeba odczytać z tej tabelki tylko w jaki sposób?

Sam mówisz, że trzeba z tabelki odczytać, no ale jak widzisz nie ma tam argumentu dla którego wartość \(\displaystyle{ \phi}\) byłaby 0,01, czy 0,02, tylko są takie, które są większe od 0,5 . Więc musisz sobie poradzić z tym jakimś "trikiem", który podałem Ci powyżej, czyli \(\displaystyle{ 1-\phi\left(x\right)=\phi\left(-x\right)}\)

drzasa pisze:p i q znaqsz,odpoweidnio 0,8 i 0,2, a tej jedynki nie przenoś na drugą stronę nierówności, tylko wciągnij pod
\(\displaystyle{ \phi}\) , zgodnie z wzroem \(\displaystyle{ 1-\phi\left(x\right)=\phi\left(-x)}\).
teraz w tablicy szukasz argumenty \(\displaystyle{ \phi}\) dla którego przyjmuje 0,98.
wiec dostaniesz \(\displaystyle{ \phi\left(-z\right)\le\phi\lest(2,32\right))}\).
A funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) jest niemalejąca, wiec nierówność się zachowa przechodząc na argumenty, tak więc dostaniesz \(\displaystyle{ -z\le2,32}\) no i teraz wyznaczasz sobie to n, a to już proste.
Oczywiscie to \(\displaystyle{ z={\frac{100-np}{ \sqrt{npq} } \right}\)

Na pewno \(\displaystyle{ -z=2,32}\)?

Ja z tej tabelki odczytuje około \(\displaystyle{ 2,06}\).

Dla \(\displaystyle{ 0,99}\) odczytuje \(\displaystyle{ z=2,326}\).

Chyba, że coś źle odczytuje.