Matematyka.pl

Obliczyć całkę dolną i górną Darboux dla funkcji \(\displaystyle{ f:\left[ 0,1\right] \rightarrow R}\) danej wzorem: \(\displaystyle{ f\left( x\right)=1-x}\), gdy \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą niewymierną oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right)=x}\), gdy \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą wymierną.

Czy można tu wybrać pewien podział normalny i dla niego obliczyć te całki? Czy to musi być dla każdego? Bo jeśli można wybrać to policzenie tego wydaje się nietrudne, ale w przypadku ogólnym znacznie trudniejsze. Intuicyjnie wyczuwam, że całka dolna wyniesie 1/4, a górna 3/4, ale nie potrafię tego pokazać w przypadku ogólnym.

Wskazówka: w każdym niezdegenerowanym przedziale leży zarówno jakaś liczba wymierna, jak i niewymierna.

No rozumiem, jednak dalej nie bardzo wiem jak obliczyć tą całkę. Np. dolną całkę Darboux.
Jeśli oznaczymy:
\(\displaystyle{ S \left( P _{n} \right) = \sum_{k=1}^{n}m _{k}\Delta x _{k}}\)
gdzie: \(\displaystyle{ S}\)-całka dolna,\(\displaystyle{ P _{n}}\)-podział, \(\displaystyle{ m _{k}=\inf _{x \in I _{k} }f\left( x\right)}\),\(\displaystyle{ \Delta x _{k}}\)-długość przedziału.
?

Załóżmy, że podzieliłeś odcinek \(\displaystyle{ [0,1]}\) punktami \(\displaystyle{ 0 = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = 1}\), przy czym \(\displaystyle{ \textstyle x_k < \frac 1 2 < x_{k+1}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\). Rozbij swoją sumę na trzy składniki:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k-1} m_i \Delta x_i = \sum_{i=0}^k x_i (x_{i+1} - x_i)}\)

\(\displaystyle{ m_k \Delta x_k = \min(x_k, 1 - x_{k+1}) \cdot (x_{k+1} - x_k)}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=k+1}^{n-1} m_i \Delta x_i = \sum_{i=k+1}^{n-1} (1 - x_{i+1}) (x_{i+1} - x_i)}\).

No tak do tego doszedłem siedząc nad tym:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k-1} m_i \Delta x_i = \sum_{i=0}^k x_i (x_{i+1} - x_i)}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0, \frac{1}{2} \right\rangle}\)
Jednak nie bardzo wiem co z tym dalej zrobić.