Matematyka.pl

1. Przez punkty \(\displaystyle{ A=(-4,-1)}\) i \(\displaystyle{ B=(4,5)}\) poprowadź taki okrąg, żeby jego punkty przecięcia z okręgiem \(\displaystyle{ (x+3)^2+y^2=9}\) leżały na prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ M=(-3,0)}\).

Środek tego okręgu \(\displaystyle{ S=(x,y)}\) jest równo odległy od punktów A i B, więc powstaje taki warunek:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+4)^2 + (y+1)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (y-5)^2} \ \ \ \ ( = r)}\)

Mogę też skonstruować warunek z twierdzenia Pitagorasa, gdzie odległość między środkami obu okręgów to suma kwadratów promieni:
\(\displaystyle{ (x+3)^2 + y^2 = r^2+9}\)


Tu nie wiem totalnie co dalej, nie mam dobrego pomysłu, który prowadziłby do odpowiedzi. Odpowiedź to: \(\displaystyle{ x^2+y^2-9x+8y-45=0}\)



2. Znaleźć równanie okręgu, który przecina pod kątem prostym trzy okręgi:

\(\displaystyle{ x^2+y^2+x+2y=0, \ \ \ x^2+y^2-2x+2y-9=0, \ \ \ x^2+y^2+3x+y-1=0}\)

Po przekształceniu: \(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{2})^2 + (y+1)^2 = \frac{5}{4}, \ \ \ (x-1)^2+(y+1)^2 = 11, \ \ \ (x+ \frac{3}{2})^2 + (y+ \frac{1}{2})^2 = \frac{7}{2}}\)

\(\displaystyle{ S_4 = (s,t)}\)

Ta sama taktyka jak wyżej. Odległości środków:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (s+ \frac{1}{2})^2 + (t+1)^2= (\frac{5}{4})^2 +R^2 \\ (s-1)^2+(t+1)^2 = 11+R^2 \end{cases}}\)

Odejmując jedno od drugiego wychodzi \(\displaystyle{ s=- \frac{139}{48}}\) I tu już pojawia się problem, bo odpowiedź to: \(\displaystyle{ (x+3)^2+(x+7)^2-41=0}\).

Proszę o jakieś wskazówki, bo z tymi dwoma zadaniami idzie mi wyjątkowo ciężko..

I)
1) Powinieneś znać prostą na jakiej leży środek szukanego.
Zatem sam środek ma jedną niewiadomą.

2) Skoro prosta na jakiej leżą punkty przecięcia przechodzi przez środek danego, to szukane punkty leżą po obu ,,stronach" środka - dwie nieznane współrzędne.

3) Odległość punktów z 3 to 6; a środek szukanego ma być w jednakowej odległości od punktów przecięcia.

Środek szukanego okręgu \(\displaystyle{ S=(s,t)}\), promień \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ r^2=AS^2=(s+4)^2 + (t+1)^2}\)
\(\displaystyle{ r^2 =BS^2= (s-4)^2 + (t-5)^2}\)
po rozwinięciu kwadratów i odjęciu stronami otrzymam równanie symetralnej odcinka AB, do której muszą należeć wszystkie środki okręgów zawierających punkty A i B
\(\displaystyle{ t=2-\frac43s}\)
podstawiając do jednego z równań otrzymam \(\displaystyle{ r^2=\frac{25}{9}s^2+25}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-s)^2+(y-t)^2=r^2 \quad\quad\left( ^{*}1\right) \\ (x+3)^2+y^2=9\end{cases}}\)
po rozwinięciu kwadratów i odjęciu stronami otrzymam równanie prostej przechodzącej przez punkty wspólne obu okręgów
\(\displaystyle{ (2s+6)x+\left(4-\frac83s\right)y+21+\frac{16}{3}s=0}\)
podstawiam współrzędne punktu M
\(\displaystyle{ (2s+6)\cdot(-3)+\left(4-\frac83s\right)\cdot0+21+\frac{16}{3}s=0\ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} s=\frac92 \\ t=-4\\r^2=\frac{325}{4} \end{cases}}\)
podstawiam do równania szukanego okręgu \(\displaystyle{ \left( ^{*}1\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( x-\frac92\right)^2+(y+4)^2=\frac{325}{4}}\)

Andrea pisze:Mogę też skonstruować warunek z twierdzenia Pitagorasa, gdzie odległość między środkami obu okręgów to suma kwadratów promieni:
\(\displaystyle{ (x+3)^2 + y^2 = r^2+9}\)

Nie ma warunku na odległość środków zależną tylko od promieni okręgów
a z Twojego warunku \(\displaystyle{ (x+3)^2 + y^2 = r^2+9}\) wynika \(\displaystyle{ r=0}\)