Pewna Granica

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Azazell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Pewna Granica

Post autor: Azazell » 5 wrz 2007, o 08:42

\(\displaystyle{ {lim}_{x->0} \frac{ln x}{x^2-1}}\)

Proszę o rozwiązanie tego zadania .. tzn jakby mógł ktoś wyjaśnić po koleji jak się rozwiązuje takie granice z Logarytmami bo chyba większość się robi podobnie .. lecz ja niestety nie mam materiałów ani żadnych przykładów z tymi logarytmami.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Pewna Granica

Post autor: scyth » 5 wrz 2007, o 11:13

Granica może być tylko prawostronna (z określoności logarytmu). Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0^+} \ln x = - }\), zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0^+} \frac{\ln x}{x^2-1} = \frac{- }{-1} = + }\)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Pewna Granica

Post autor: Emiel Regis » 5 wrz 2007, o 11:15

Także prawostronna granica mi taka wychodzi, natomiast co ciekawe Maple policzył także lewostronną i jest taka sama, hmm... może on to w zespolonych liczy ??:

Azazell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Pewna Granica

Post autor: Azazell » 6 wrz 2007, o 08:47

więc zawsze jak będzie w granicach Logarytm "ln x" to go zamieniamy na nieskonczoność ?

bo np mam też taki przykład i jakoś dziwnie rozwiazany:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1-3x)}{x}= \frac{\ -3 ln [1+ (-3x)]}{-3x} = - 3}\)

tak mam rozwiązany przykład i kompletnie go nie rozumiem ską się pojawiły te trójki ?
muszę jakoś opanować te zadania z logarytmami w granicach bo to zawsze dostaję na kołach i teraz na poprawcę też będzie.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Pewna Granica

Post autor: scyth » 6 wrz 2007, o 09:09

Mamy tutaj granicę nieoznaczoną \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) więc można zastosować regułę de l'Hospitala - z niej ładnie wychodzi wynik.
Co do sposobu przedstawionego przez Ciebie to można pokazać (z de l'Hospitala), że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{ax} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{a}{1+ax}}{a} = 1}\)
i pewnie z tego tu skorzystano.

Azazell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 14 sty 2007, o 23:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Pewna Granica

Post autor: Azazell » 6 wrz 2007, o 09:20

oki dziękuje ale mam problem jeszcze z jedną granicą .. Jakbyś mógł mi tez wytłumaczyć jak to rozwiązywać bo mnie szlag trafia ..

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}} {\((1+\frac{3}{x})^2^x}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Pewna Granica

Post autor: scyth » 6 wrz 2007, o 09:29

Skorzystamy z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } ft(1+\frac{1}{x} \right)^x=e}\)

Zatem musimy przekształcać:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}} {\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x} = \lim_{x\to\infty}} {\left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}\cdot 6 }= ft(\lim_{x\to\infty}} {\left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}}\right)^6=e^6}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Pewna Granica

Post autor: max » 6 wrz 2007, o 12:37

[quote="scyth"]Można pokazać (z de l'Hospitala), że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{ax} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{a}{1+ax}}{a} = 1}\) [/quote]
Jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\). Poza tym nie policzymy pochodnej funkcji logarytmicznej nie znając tej granicy, więc Hospital się tu nie nadaje.
Natomiast mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}(1 + x)^{1/x} = e}\)
i ponieważ funkcja logarytmiczna jest ciągła, to:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1 + x)}{x} = \lim_{x\to 0}\ln (1 + x)^{1/x} = \ln e = 1}\)

ODPOWIEDZ