Wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu

[joanna_]

Będę niezmiernie wdzięczna za pomoc/wskazówkę odnośnie rozwiązywania zadań typu:

Wyznacz wzór zwarty na an, gdzie
\(\displaystyle{ a_1 = a_3\\
a_2 = -2\\
a_n = a_{n-1} + 2 a_{n-2} + 6 n - 15}\)

Wzór jest na tyle skomplikowany, że nie sposób odgadnąć wyrażenia na an , nie można też skorzystać z równania charakterystycznego, próbowałam dostrzec jakąś analogie przy rozwijaniu poszczególnych wyrazów ciągu, ale to również nie pomogło, co poradzicie?
z góry dziękuję

Zapis poprawiłem, zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52

[max]

A z metody funkcji tworzących można korzystać?
Ale w sumie nie ma po co:
\(\displaystyle{ a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2a_{n} + 6(n + 2) - 15\\
a_{n + 2} + a_{n + 1} = 2a_{n + 1} + 2a_{n} + 6n - 3}\)
i teraz oznaczamy sobie \(\displaystyle{ \alpha_{n} = a_{n + 1} + a_{n}}\)
a nasze równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \alpha_{n + 1} = 2\alpha_{n} + 6n - 3\\
_{n + 1} - 2\alpha_{n} = 6n - 3}\)
Dalej bierzemy wszystkie takie równości począwszy od \(\displaystyle{ n}\) i na \(\displaystyle{ 1}\) skończywszy, wymnażając każdą kolejną stronami przez kolejną potęgę \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha_{n + 1} - 2\alpha_{n} = 6n - 3\\
2\alpha_{n} - 4\alpha_{n - 1} = 2\cdot 6(n - 1) - 2\cdot 3\\
4\alpha_{n - 1} - 8\alpha_{n - 2} = 4\cdot 6(n - 2) - 4\cdot 3\\
\ldots\\
2^{n - 2}\alpha_{3} - 2^{n - 1}\alpha_{2} = 2^{n - 2}\cdot 6(n - (n - 2)) - 2^{n - 2}\cdot 3\\
2^{n - 1}\alpha_{2} - 2^{n}\alpha_{1} = 2^{n - 1}\cdot 6(n - (n - 1)) - 2^{n - 1}\cdot 3\end{cases}}\)
i teraz jak dodamy do siebie wszystkie równania układu to, po redukcji wyrazów podobnych po lewej stronie i pogrupowaniu strony prawej otrzymamy:
\(\displaystyle{ \alpha_{n + 1} + 2^{n - 1}\alpha_{2} - 2^{n}\alpha_{1} = (6n - 3)\sum_{k = 1}^{n}2^{k - 1} - 6\sum_{k = 1}^{n}2^{n - k}(n - k)}\)
do końca nie chce mi się liczyć, ale dalej wystarczy tylko zwinąć sumy po prawej, wyznaczyć stałe \(\displaystyle{ \alpha_{2}, _{1}}\), wyliczyć z tego wszystkiego \(\displaystyle{ \alpha_{n + 1}}\) i rozwiązać rekurencję pierwszego stopnia:
\(\displaystyle{ a_{n + 1} = _{n} - a_{n}}\)
z czym mam nadzieję sobie poradzisz . W razie problemów wołaj o pomoc
(btw. wyszło jednak trochę długaśnie, funkcją tworzącą mogło by być nawet szybciej)

[joanna_]

a potrafiłbyś wytłumaczyć metodę funkcji tworzących na tym przykładzie? sposób który podałeś jest zbyt czasochłonny (mam 15 na zad na egzaminie) i nie nie jestem pewna czy można go zastosować do każdej funkcji
pozdrawiam

[palazi]

Ok. to inny i nieco szybszy sposób:
Wezmy sobie ciąg: \(\displaystyle{ b_{n} = a_{n} + 3n}\) Wtedy dostajesz rekurencję:
\(\displaystyle{ b_{n} = b_{n-1} + 2b_{n-2}}\)
I dalej już chyba jasne co trzeba robic.

[max]

Metoda funkcji tworzących jest również czasochłonna. Nie wiem zatem na ile Ci się to przyda, ale skoro prosisz, to napiszę chociażby w ramach ciekawostki przyrodniczej:

Funkcją tworzącą ciągu nazywamy szereg potęgowy o współczynnikach równych kolejnym wyrazom ciągu, np funkcja tworząca \(\displaystyle{ F}\) ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}}}\) jest określona w następujący sposób:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n+1}x^{n}}\)
Aby wyznaczyć zwartą postać zdefiniowanego rekurencyjnie ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}}}\) można spróbować, korzystając z danej rekurencji dokonać przeksztełceń powyższej równości, tak, aby wyrazić funkcję \(\displaystyle{ F}\) w postaci skończonej. Jeśli się uda i potrafimy tę funkcję rozwinąć w szereg Maclaurina, to ze względu na jednoznaczność przedstawienia funkcji w postaci szeregu potęgowego otrzymamy szukany wzór.
Myślę, że ten przykład powinien to w pewnym stopniu zilustrować:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}x^{n} = \\
= a_{1} + a_{2}x + \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n + 3}x^{n + 2} = \\
= -1 - 2x + \sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n+2} + 2a_{n + 1} + 6(n + 3) - 15\right)x^{n + 2} = \\
= -1 - 2x + \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n + 2}x^{n + 2} + \sum_{n=0}^{\infty}2a_{n + 1}x^{n + 2} + \sum_{n = 0}^{\infty}6nx^{n + 2} + \sum_{n = 0}^{\infty}3x^{n + 2} = \\
= -1 - 2x + x\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n + 1}x^{n} + 2x^{2}\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n+1}x^{n} + 6x^{3}\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n - 1} + 3x^{2}\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n} = \\
= -1 - 2x + x(F(x) + 1) + 2x^{2}F(x) + \frac{6x^{3}}{(1 - x)^{2}} + \frac{3x^{2}}{1 - x}}\)
I otrzymujemy równanie, z którego wyliczamy \(\displaystyle{ F(x)}\):
\(\displaystyle{ F(x) = \frac{-1 - x}{(1 - x - 2x^{2})} + \frac{6x^{3}}{(1 - x - 2x^{2})(1 - x)^{2}} + \frac{3x^{2}}{(1 - x - 2x^{2})(1 - x)} = \\
= -\frac{1}{1 - 2x} + \frac{6x^{3}}{(1 - 2x)(1 + x)(1 - x)^{2}} + \frac{3x^{2}}{(1 - 2x)(1 + x)(1 - x)}}\)
Aby rozwinąć tę funkcję w szereg można rozbić ją na ułamki proste, rozwinąć każdy z ułamków i zsumować rozwinięcia wyraz za wyrazem. Współczynnik stojący przy n-tej potędze \(\displaystyle{ x}\) w otrzymanym rozwinięciu będzie wyrażał (n + 1)-szy wyraz ciągu.
To oczywiście tylko przykład, o samej metodzie można poczytać np w:

co nieco jest również .

A tak swoją drogą to chyba Cię na początku nie zrozumiałem, bo założyłem, że wykluczamy zastosowanie równania charakterystycznego... Jeśli tak (tzn jeśli nie wykluczamy) to zobacz też [url=http://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=7107]tu[/url].

[jovante]

Zrobiłem to zadanie metodą podobną do tej, ktorą zademonstrował Max (mniejsza o różnice), więc dodam, że ostatecznie \(\displaystyle{ F(x)=\frac{2x}{1-2x}-\frac{3x}{(x-1)^2}}\). Po rozwinięciu tego w szereg, łatwo otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a_n=2^n-3n}\).