Czy szereg jest zbieżny?

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
Hamster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 5 lis 2006, o 20:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 16 razy

Czy szereg jest zbieżny?

Post autor: Hamster » 4 wrz 2007, o 23:17

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n{n^{n^2}}}{(n+1)^{n^2}}}\)

Próbowałem z Cauchy'ego, ale z moich obliczeń wyszło mi 1(aczkolwiek moge się mylić), czyli nie rozstrzyga. Z całkowego nie wydaje mi się, zeby udało się policzyć a co do innych nie mam pojęcia.

Pozdrawiam!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Czy szereg jest zbieżny?

Post autor: max » 4 wrz 2007, o 23:37

Jakby się uprzeć to można bezpośrednio wykazać, że nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, ale... po co się upierać ;) skoro dokładnie to samo dostaniemy jednak z kryterium Cauchy'ego w postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{e^{n}n^{n^{2}}}{(n + 1)^{n^{2}}}} = \frac{e}{(1 + \frac{1}{n})^{n}}}\)
i choć granicą tego ciągu jest jedynka, to ponieważ ciąg \(\displaystyle{ e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}\) jest ściśle rosnący i zbieżny do \(\displaystyle{ e}\), więc dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) będziemy mieli:
\(\displaystyle{ e > \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\\
\frac{e}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} > 1}\)

a to już gwarantuje rozbieżność.

Awatar użytkownika
Hamster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 5 lis 2006, o 20:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 16 razy

Czy szereg jest zbieżny?

Post autor: Hamster » 6 wrz 2007, o 16:21

A jak wyglądałoby to, gdyby przenieść lciznik do mianownika i mianownik do liczniak ? Czyli:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^{n^2}}{e^n{n^{n^2}}}}\)

To już nie byłoby takie proste...

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Czy szereg jest zbieżny?

Post autor: max » 6 wrz 2007, o 17:31

No nie byłoby
Pokażemy, że nie zachodzi warunek konieczny:
Badamy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(\frac{(1 + \frac{1}{n})^{n}}{e}\right)^{n}}\)
Najpierw rozpatrzymy granicę logarytmu:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \ln ft(\frac{(1 + \frac{1}{n})^{n}}{e}\right)^{n} = \lim_{n\to } n\ln ft(\frac{(1 + \frac{1}{n})^{n}}{e}\right) = \\
= \lim_{n\to } n\left(n\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) - 1\right)}\)

Teraz korzystamy z wzoru Taylora dla funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \ln (1 + x)}\) w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ 0}\):
\(\displaystyle{ \ln(1 + x) = x - \frac{1}{2}x^{2} + o(x^{2})}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } n\left(n\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) - 1\right) = \lim_{n\to } n\left(n\cdot ft(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^{2}} + o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) - 1\right) = \\
= \lim_{n\to }n\left(-\frac{1}{2n} + n\cdot o\left(\frac{1}{n^{2}} \right)\right) = \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{2} + n^{2}\cdot o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \right) = -\frac{1}{2}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(\frac{(1 + \frac{1}{n})^{n}}{e}\right)^{n} = e^{-1/2}}\)
i warunek konieczny nie zachodzi.

ODPOWIEDZ