Próbowałem przejrzeć forum ale nie znalazłem albo przeoczyłem. Jak można policzyć coś takiego:
\(\displaystyle{ \int xe^{-x^{2}}dx}\)
Oczywistością jest, że to się równa:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}}\)
z powodu, że
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}\right)=xe^{-x^{2}}}\)
Ale jak to można wykazać obliczając jawnie podaną całkę? Z góry dziękuję za konstruktywne odpowiedzi.
całka służąca do obliczenia całki Gaussa
- ariadna
- Użytkownik
- Posty: 2702
- Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 642 razy
całka służąca do obliczenia całki Gaussa
Podstwienie:
\(\displaystyle{ t=-x^{2}}\)
\(\displaystyle{ dt=-2x \,dx}\)
I mamy:
\(\displaystyle{ I=-\frac{1}{2}\int{e^{t}\,dt}=-\frac{1}{2}e^{t}+C=-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C}\)
\(\displaystyle{ t=-x^{2}}\)
\(\displaystyle{ dt=-2x \,dx}\)
I mamy:
\(\displaystyle{ I=-\frac{1}{2}\int{e^{t}\,dt}=-\frac{1}{2}e^{t}+C=-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C}\)