całka służąca do obliczenia całki Gaussa

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
rkaminski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

całka służąca do obliczenia całki Gaussa

Post autor: rkaminski » 4 wrz 2007, o 23:00

Próbowałem przejrzeć forum ale nie znalazłem albo przeoczyłem. Jak można policzyć coś takiego:
\(\displaystyle{ \int xe^{-x^{2}}dx}\)
Oczywistością jest, że to się równa:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}}\)
z powodu, że
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}\right)=xe^{-x^{2}}}\)
Ale jak to można wykazać obliczając jawnie podaną całkę? Z góry dziękuję za konstruktywne odpowiedzi.

Awatar użytkownika
ariadna
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2702
Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 642 razy

całka służąca do obliczenia całki Gaussa

Post autor: ariadna » 4 wrz 2007, o 23:09

Podstwienie:
\(\displaystyle{ t=-x^{2}}\)
\(\displaystyle{ dt=-2x \,dx}\)
I mamy:
\(\displaystyle{ I=-\frac{1}{2}\int{e^{t}\,dt}=-\frac{1}{2}e^{t}+C=-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C}\)

rkaminski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

całka służąca do obliczenia całki Gaussa

Post autor: rkaminski » 4 wrz 2007, o 23:14

Ojej, faktycznie, dziękuję Ci bardzo

ODPOWIEDZ