twierdzenie Lagrange'a

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
marty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 296
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 21:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 33 razy

twierdzenie Lagrange'a

Post autor: marty » 4 wrz 2007, o 22:42

jak to zrobic:
udowodnic, ze dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych z, y nalezacych do R prawdziwa jest nierownoasc
\(\displaystyle{ |\ln (1+x^2) - \ln (1+y^2)| q |z-y|}\)

|ln(1+x^)-ln(1+y^)|
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2007, o 22:44 przez marty, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

twierdzenie Lagrange'a

Post autor: robin5hood » 7 wrz 2007, o 16:29

definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f(x)= ln(1+x^2)}\)
funkcja ta spełnia założenia tw lagrangea wiec istnieje c należące do R, że
\(\displaystyle{ \frac{ln(1+x^2)-ln(1+y^2)}{x-y}=f'(c)=\frac{2c}{1+c^2}}\)
Obkładamy sobie obustronnie modułem i mamy:
\(\displaystyle{ |ln(1+x^2)-ln(1+y^2)|=|\frac{2c}{1+c^2}(x-y)|}\)
zauwazmy ze funkcja \(\displaystyle{ f'(c)=\frac{2c}{1+c^2}}\) ma maksimum w pukcie c=1.
zatem
\(\displaystyle{ |ln(1+x^2)-ln(1+y^2)|=|\frac{2c}{1+c^2}(x-y)| qslant |x-y|}\)

ODPOWIEDZ