Matematyka.pl

Dobry,
mam do policzenia objętość bryły ograniczonej powierzchnią \(\displaystyle{ z=x^2-y^2}\) oraz płaszczyznami \(\displaystyle{ (x-1)^2+y^2=1}\) i \(\displaystyle{ z=0}\). Pierwsza to paraboloida hiperboliczna, narysowałem ją sobie dla \(\displaystyle{ z>0}\) z racji tej zadanej płaszczyzny (takie dwa tuneliki, wychodzące z \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) po obu stronach osi \(\displaystyle{ oy}\), mające oś \(\displaystyle{ ox}\) po środku). Dalej to oczywiście okrąg. Przeszedłem na współrzędne walcowe. Nie jestem jeszcze do końca pewien kiedy stosować walcowe, a kiedy sferyczne, ale mam nadzieje, że jest okay. Narysowałem sobie ten okrąg na płaszczyźnie \(\displaystyle{ oxy}\), a później przeniosłem go sobie na układ już trójwymiarowy z moją paraboloidą. Jako że:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi \\z=z \\|J|=r\end{array}\right.}\)
to ograniczyłem sobie kąt \(\displaystyle{ \varphi:\ 0 \le \varphi \le \pi}\) oraz \(\displaystyle{ r}\) z danego równania okregu: \(\displaystyle{ 0 \le r \le 2\cos\varphi}\)
Górną funkcją ograniczająca jest u mnie \(\displaystyle{ z=x^2-y^2=r^2\cos2\varphi}\), a dolną \(\displaystyle{ z=0}\). Zatem objętość byłaby równa \(\displaystyle{ |V|=\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\cos\varphi}\int_{0}^{r^2\cos2\varphi}1\ dzdrd\varphi=\pi}\). Pomijając rachunki, to chciałem zapytać, czy zadanie jest poprawnie rozwiązane? Tzn. czy dobrze zostały wybrane współrzędne oraz wyznaczone granice całkowania?

Chciałem też zapytać przy okazji o dwie krótkie rzeczy. W tym wypadku patrzymy, jaka miara kąta musi zostać zakreślona przez promień i w ten sposób uzyskujemy ograniczenie dla \(\displaystyle{ \varphi}\). Gdyby jednak spojrzeć na \(\displaystyle{ \varphi}\) jako kąt skierowany, to można powiedzieć, że jest z przedziału \(\displaystyle{ \left[ - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]}\). Jak wstawiłem takie granice do całki, to wyszło to samo. Stąd moje pytanie, czy ta druga opcja jest zawsze poprawna przy współrzędnych biegunowych, walcowych i sferycznych?

Kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) zmienia sie od \(\displaystyle{ -\pi/2}\) do \(\displaystyle{ \pi/2}\). Fakt, że wartości całek wyszły Ci takie same musisz traktować w kategorii przypadku.

Zauważ zresztą, że dla \(\displaystyle{ \varphi>\pi/2}\) prawa strona nierówności \(\displaystyle{ 0 \le r \le 2\cos\varphi}\) jest ujemna

Ja w takich przypadkach zdecydowanie wolę umieszczać biegun w środku koła o środku \(\displaystyle{ (1,0)}\)

a4karo pisze:Kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) zmienia sie od \(\displaystyle{ -\pi/2}\) do \(\displaystyle{ pi/2}\)

Mam troszkę inny podgląd na tę sprawę:

\(\displaystyle{ V=\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\int_0^{2\cos\varphi}r^3\cos2\varphi\,dr\,d\varphi=2\frac{2}{15}}\)

Fakt, w obszarze ograniczonym czerwonymi promieniami \(\displaystyle{ x^2-y^2>0}\).
Zadanie natomiast jest o tyle nieprecyzyjne, że nie mów o który z obszarów chodzi: poza tymi promieniami bryłą jest ograniczona z góry płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\) a z dołu hiperboloidą.

Waylays pisze:Dobry,
mam do policzenia objętość bryły

a4karo pisze:Zadanie natomiast jest o tyle nieprecyzyjne, że nie mów o który z obszarów chodzi:

Dla \(\displaystyle{ z<0}\) są dwie bryły o jednej krawędzi wspólnej, więc trudno nazwać je bryłą
tak jak nie nazwiemy trójkątem dwóch trójkątów mających tylko jeden punkt wspólny

Ten argument jest słaby: Podstawowe Twierdzenie Architektury głosi, że suma dwóch brył jest bryłą.