Matematyka.pl

Cześć Próbuję zgłębić tajniki probabilistyki i jestem na samym początku drogi. Mam problem z dystrybuantą w prostym zadaniu:

Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej mającej następującą funkcję częstości \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{15}}\) dla \(\displaystyle{ x = 1, 2, 3, 4, 5}\).

No to zaczynam liczyć gęstość/częstość zmiennej losowej:

\(\displaystyle{ f(1) = \frac{1}{15} \\
f(2) = \frac{2}{15} \\
f(3) = \frac{3}{15} \\
f(4) = \frac{4}{15} \\
f(5) = \frac{5}{15}}\)

Wg. twierdzenia funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) spełnia warunek aby być częstością jakiejś zmiennej losowej, bo \(\displaystyle{ f(x) \ge 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ \sum}\) wszystkich \(\displaystyle{ x}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\). I teraz jak zabrać się za dystrybuantę?

Jak rozumiem, funkcja częstości to taka funkcja, że \(\displaystyle{ \PP(X=t)=f(t)}\) dla \(\displaystyle{ t\in\{1,\ldots,5\}}\).
Jeśli definiujemy dystrybuantę jako funkcję \(\displaystyle{ F(t)=\PP(X\leq t)}\), to liczymy:
\(\displaystyle{ \PP(X\leq t)=0}\) dla \(\displaystyle{ t<1}\).
Dalej:
dla \(\displaystyle{ 1\leq t<2}\) zachodzi \(\displaystyle{ \PP(X\leq t)=\PP(X=1)=f(1)}\).
Dalej:
dla \(\displaystyle{ 2\leq t<3}\) zachodzi \(\displaystyle{ \PP(X\in\{1,2\})=f(1)+f(2)}\).
I tak dalej.

Tak, czyli taki wzorek

\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} 0 \ dla \ x<1 \\ \sum_{x _{i} \le x}P(X=x _{i}) \ dla \ 1 \le x \le 5 \\ 1 \ dla \ x>5 \end{cases}}\)