ciąg arytmetyczny

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: mat1989 » 4 wrz 2007, o 20:47

Wykaż, że jeżeli kwadraty trzech liczb dodatnich a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny to również liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{b+c}}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{c+a}}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}}\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: Tristan » 4 wrz 2007, o 20:53

Z pierwszej części zadania wiemy, że zachodzi \(\displaystyle{ b^2 -a^2=c^2 - b^2}\). Teraz wystarczy, że równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{c+a} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{c+a}}\) przekształcisz do tej właśnie postaci, co będzie kończyło dowód.

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: mat1989 » 4 wrz 2007, o 20:54

ok:) a w jaki sposób to przekształcić?

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: Amon-Ra » 4 wrz 2007, o 21:08

Wypadałoby sprowadzić do wspólnego mianownika, albo co... . Potem można przekształcać na kilka sposobów.
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2007, o 21:14 przez Amon-Ra, łącznie zmieniany 1 raz.

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: mat1989 » 4 wrz 2007, o 21:11

wspólny mianownik to będzie (c+a)(b+a)(a+c)?

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: Amon-Ra » 4 wrz 2007, o 21:17

Odejmujemy od siebie dwa wyrażenia, a nie trzy .

Cóż, to bądź co bądź rozwiązanie Tristana, więc już uciekam, co by mu tematu spod nosa nie podbierać .
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2007, o 11:51 przez Amon-Ra, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: Tristan » 4 wrz 2007, o 21:24

Dziękuję Amon-Ra . Rzadko się na forum widzi taką uczciwość
Już piszę, jak to przekształcałem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{c+a} - \frac{1}{b+c}= \frac{1}{a+b} - \frac{1}{c+a} \\ \frac{b+c-c-a}{(b+c)(c+a)} = \frac{c+a-a-b}{ (a+b)(c+a) } \\ \frac{b-a}{ (b+c)(c+a) } = \frac{c-b}{ (a+b)(c+a) } \\ (b-a)(a+b)=(c-b)(b+c) \\ b^2 - a^2=c^2 - b^2}\)

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: mat1989 » 4 wrz 2007, o 21:26

ok, widzę już wszystko. Dziękuje za pomoc.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: Amon-Ra » 4 wrz 2007, o 21:36

Tristan pisze:Rzadko się na forum widzi taką uczciwość
Nie ma za co dziękować, wszak niegrzecznie byłoby, abym dokończył rozwiązanie, które Ty rozpocząłeś .

ODPOWIEDZ