Matematyka.pl

Cześć, mam parę pytań.
1. Mam takie zadanie:
Wyznaczyć postać jawną ciągu
\(\displaystyle{ a_{n} = (2, -2, 4, -4, 6, -6, ...)}\)
metodą funkcji tworzących.

Jak mam to rozwiązać? Jak wyznaczyć funkcję tworzącą (nie tylko tę, ale skąd w ogóle biorą się te wszystkie wzory zamiany ciągu na funkcję)?

2. Rachunek różnicowy
\(\displaystyle{ \Delta ^{5} ((-2x+3)^{7})}\)

Mógłby to też ktoś w miarę łopatologicznie wyjaśnić?

3. Wyznaczyć postać jawną sumy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} = (k-2 \cdot (-1) ^{k}) ^{2}}\)

To też wymaga wielu wyjaśnień, totalnie nie rozumiem co mam zrobić.

Piszemy z tego egzamin, proszę o pomoc.

1. Niech

\(\displaystyle{ A(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n}\).

Wtedy

\(\displaystyle{ A(x) = \sum_{n \ge 0} a_{2n} x^{2n} + x \sum_{n \ge 0} a_{2n+1} x^{2n} = \sum_{n \ge 0} 2 (n+1) x^{2n} - x \sum_{n \ge 0} 2(n+1) x^{2n} = \ldots}\)

Tutaj można zastosować sztuczkę z różniczkowaniem. Ostatecznie

\(\displaystyle{ A(x) = \frac{2}{(1 - x)(1 + x)^2}}\).

2. 408714.htm

3. 408789.htm