wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych

Post autor: Novy » 4 wrz 2007, o 19:34

Czy każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 8}\) o współczynnikiach rzeczywistych jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 5 \,i \,3}\) o wsp. rzeczywistych? Czy każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 6}\) o współczynnikiach zespolonych jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 4\, i\, 2}\) o wsp. zespol?



Czy każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 5}\) o współczynnikiach rzeczywistych jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 3 \,i \,2}\) o wsp. rzeczywistych? Czy każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 8}\) o współczynnikiach zespolonych jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 5 \,i \,3}\) o wsp. zespol?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych

Post autor: Lorek » 4 wrz 2007, o 21:46

Może taki przykład do 1:
\(\displaystyle{ P(x)=2,\; Q(x)=x^8\\W(x)=P(x)Q(x)=2x^8}\)
założenia spełnia, a jak widać nie jest iloczynem wielomianów st. 3 i 5. Dla pozostałych też można poszukać kontrprzykładów.

[ Dodano: 4 Września 2007, 21:48 ]
Chyba, że by było pytanie "Czy każdy wielomian... można przedstawić w takiej postaci, aby był iloczynem wielomianów...". To wtedy odp. jest twierdząca.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych

Post autor: Novy » 4 wrz 2007, o 22:52

mam odpowiedzi, ale nie wiem dlaczego tak
otóż:

nie, tak

tak, tak



w drugim niby też mozna kontrprzyklad, a jednak odpowiedz jest 'tak'

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych

Post autor: max » 4 wrz 2007, o 23:49

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Nie każdy wielomian o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek rzeczywisty.

Każdy wielomian o współczynnikach zespolonych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów pierwszego stopnia o współczynnikach zespolonych.

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż drugi.

Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem o stopniu równym sumie stopni tych dwóch wielomianów.

edit: Co do uwagi Drizzta, to pozwoliłem sobie niecnie założyć (ale chyba w duchu treści zadania), że mówimy o dwóch pierścieniach wielomianów: o współczynnikach zespolonych i o współczynnikach rzeczywistych. Ogólnie nie czuję się mocny z algebry, ale mam nadzieję, że nigdzie nie dokonałem matematycznej zbrodni.
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2007, o 00:09 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych

Post autor: Emiel Regis » 4 wrz 2007, o 23:59

max pisze:Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem o stopniu równym sumie stopni tych dwóch wielomianów.
To jeszcze zależy w jakim pierścieniu; )


edit: jasne że nie żadna zbrodnia, tak tylko jako ciekawostke pisze. Mnie zawsze takie niuanse interesowały. Np
\(\displaystyle{ (2x^3+1) 3x^2=3x^2}\)


[w \(\displaystyle{ Z_6}\)]

ODPOWIEDZ