Zbadac zbieznosc szeregu

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
nevonsky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 15 cze 2016, o 17:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Planeta Ziemia

Zbadac zbieznosc szeregu

Post autor: nevonsky » 15 cze 2016, o 17:33

Zbadac zbieznosc szeregu

a) \(\sum_{ n=1 }^{ \infty} \frac{\sin n}{n^2-i}\)
b) \(\sum_{ n=0 }^{ \infty} \frac{2^n}{(e-i)^n}\)

prosze o pokazanie jak zrobic z gory bardzo dziekuje

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14139
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Zbadac zbieznosc szeregu

Post autor: Premislav » 15 cze 2016, o 19:38

a) \(\frac{\sin n}{n^2 -i}= \frac{\sin n (n^2 +i)}{n^4+1}= \frac{n^2\sin n}{n^4 +1}+i \frac{\sin n}{n^4+1}\) - pomnożyłem przez sprzężenie mianownika.
Szereg \(\sum_{n=1}^{ \infty } z_{n}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są szeregi
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \Re z_{n}\) oraz \(\sum_{n=1}^{ \infty }\Im z_{n}\)
Wystarczy więc, że pokażesz zbieżność
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2 \sin n}{n^4+1}\) oraz zbieżność \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin n}{n^4+1}\). Najprościej zbadać zbieżność bezwzględną i oszacować z \(|\sin n|<1\)
b) to jest po prostu szereg geometryczny o ilorazie
\(\frac{2}{e-i}\). Czy \(\left| \frac{2}{e-i}\right| <1\)? Jeśli tak, to szereg jest zbieżny, a jeśli nie, to rozbieżny.

ODPOWIEDZ