rozwiązać równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

rozwiązać równanie

Post autor: Novy » 4 wrz 2007, o 19:28

a właściwie to treść jest taka:

Ile rozwiązań równania \(\displaystyle{ z^{9} = -i}\) ma ujemną część rzeczywistą?
Ile rozwiązań równania \(\displaystyle{ z^{9} = i}\) ma dodatnią część rzeczywistą?




i jeszcze takie cuś:

Ile różnych liczb zespolonych spełnia równanie \(\displaystyle{ z^{14} + z^{6} = z^{10}+z^{2}}\) ? (To już zrobiłem - 13). Ile jest wśród nich liczb nierzeczywistych??

Ile różnych liczb zespolonych spełnia równanie \(\displaystyle{ z^{14} + z^{2} = z^{10}+z^{6}}\) ? (To już zrobiłem - 9). Ile jest wśród nich liczb nierzeczywistych??



help, jak to się patrzy
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

rozwiązać równanie

Post autor: scyth » 5 wrz 2007, o 13:23

1.

Zastosuj wzór De Moivre'a:
\(\displaystyle{ (-i)^\frac{1}{9} = \cos \left( \frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{9}\right) + i \sin \left( \frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{9}\right), \ k \in \{ 0,1,2,...,8 \}}\)
\(\displaystyle{ (i)^\frac{1}{9} = \cos \left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{9}\right) + i \sin \left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{9}\right), \ k \in \{ 0,1,2,...,8 \}}\)
i sprawdź dla jakich \(\displaystyle{ k}\) cześć rzeczywista jest dodatnia.

2.

\(\displaystyle{ z^{14} + z^{6} = z^{10}+z^{2} \rightarrow z^{14} -z^{10} + z^{6} - z^2 = 0}\)

Przekształcam:
\(\displaystyle{ z^{14} -z^{10} + z^{6} - z^2 = \\
= z^2(z^{12}-z^8+z^4-1) = \\
= z^2(z^8(z^4-1)+z^4-1) = \\
= z^2(z^4-1)(z^8+1) = z^2(z-1)(z+1)(z^2+1)(z^8+1)}\)

i już widać.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

rozwiązać równanie

Post autor: Novy » 5 wrz 2007, o 17:18

dzięki.. pierwsze rzeczywiście łatwe
a w drugim ile będzie tych nierzeczywistych w końcu? 8?

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

rozwiązać równanie

Post autor: scyth » 5 wrz 2007, o 20:24

Równanie \(\displaystyle{ z^2+1}\) ma dwa pierwiastki zespolone, równanie \(\displaystyle{ z^8+1}\) ma osiem, ale pierwiastki pierwszego są pierwiastkami drugiego, więc tak, osiem.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

rozwiązać równanie

Post autor: Novy » 6 wrz 2007, o 12:57

jeszcze jedno równanko:
\(\displaystyle{ 1+z+z^{2}+z^{3}=0}\)

rozwiązałem i mi wyszło
\(\displaystyle{ z=i\,\,\,\,}\) lub \(\displaystyle{ \,\,\,\,z=(-1)}\)
dobrze to?

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

rozwiązać równanie

Post autor: scyth » 6 wrz 2007, o 13:45

Zawsze najlepiej sobie rozpisz, będziesz wiedział czy jest OK.
\(\displaystyle{ 1+z+z^2+z^3=1+z+z^2(1+z)=(1+z)(1+z^2)=(1+z)(z-i)(z+i)}\)
Czyli zgubiłeś \(\displaystyle{ z=-i}\)

ODPOWIEDZ