Matematyka.pl

Witam!
Pytanie takie jak w temacie tego postu - dlaczego przy odwzorowaniach wielowartościowych definiujemy dwie różne przeciwdziedziny?
Same definicje są dla mnie zrozumiałe. Do czego przydaje się np.: definicja "dużego przeciwobrazu" multifunkcji (\(\displaystyle{ F^{-1}}\))?

Pozdrawiam

Dlaczego:
jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem, zaś \(\displaystyle{ F}\) jest zbiorem jednopunktowym, to oba warunki: \(\displaystyle{ F\subset A,\ F\cap A\neq\emptyset}\) są równoważne. Jeśli jednak \(\displaystyle{ F}\) nie jest zbiorem jednopunktowym, to pierwszy warunek jest mocniejszy (,,rzadziej spełniany"), niż drugi (,,łatwiej" się przeciąć z \(\displaystyle{ A}\) niż zawierać w \(\displaystyle{ A}\)).

Jeśli rozważamy funkcję \(\displaystyle{ f\colon X\to Y}\), to warunek \(\displaystyle{ x\in f^{-1}(A)}\) można zapisać równoważnie:
\(\displaystyle{ f(x)\in A\iff \{f(x)\}\subset A\iff \{f(x)\}\cap A\neq\emptyset}\).

Jeśli jednak rozważamy \(\displaystyle{ f\colon X\multimap Y}\), to zachodzi jedynie implikacja:
\(\displaystyle{ f(x)\subset A\implies f(x)\cap A\neq\emptyset}\).
Dlatego te dwa warunki się rozróżnia i definiuje dwa przeciwobrazy: mały (przez piewszy warunek) i duży (przez drugi warunek).

Do czego się przydaje: Ponieważ są różne oznaczenia na mały i duży przeciwobraz, to co chcę, napiszę bez użycia symboli:

Zachodzi równość: mały przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) to dopełnienie dużego przeciwobrazu zbioru \(\displaystyle{ X\setminus A}\). Zatem można powiedzieć, że rozróżnienie na te przeciwobrazy się nie przydaje, ponieważ, jeden można zdefiniować przy użyciu drugiego.

Z drugiej strony rozważanie dwóch przeciwobrazów jest bardzo naturalne, co mam nadzieję przekonująco wyjaśniłem wyżej. Korzystanie z jednego tylko przeciwobrazu byłoby niewygodne. I bardzo często, w konkretnych przypadkach, potrzebujemy właśnie rozważać jeden bądź drugi przeciwobraz. To zależy po prostu od tego, jak taki przeciwobraz się wykorzystuje. Te pojęcia nie są stworzone po to, by były, ale by je wykorzystywać. W jednym twierdzeniu mamy (w założeniu bądź tezie) duży przeciwobraz, a w innym mały. Ot, cała filozofia.